云南省中考数学总复习提分专练六以矩形菱形正方形为背景的中档计算题与证明题练习.docx

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云南省中考数学总复习提分专练六以矩形菱形正方形为背景的中档计算题与证明题练习

提分专练（六）　以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题

|类型1|　以矩形为背景的问题

1.[2018·连云港]如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.

（1）求证:

四边形ACDF是平行四边形;

（2）当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.

图T6-1

2.[2017·日照]如图T6-2,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.

（1）求证:

△DCA≌△EAC;

（2）只需添加一个条件,即　　　　　　　　,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明. 

图T6-2

3.已知:

如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.

（1）求证:

△ABD≌△CAE.

（2）连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?

请证明你的结论.

图T6-3

|类型2|　以菱形为背景的问题

4.[2017·北京]如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.

（1）求证:

四边形BCDE为菱形;

（2）连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.

图T6-4

5.已知:

如图T6-5,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.

（1）求证:

△ABE≌△CDF.

（2）连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?

请说明理由.

图T6-5

|类型3|　以正方形为背景的问题

6.[2018·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.

（1）求证:

△ABE≌△ADF;

（2）试判断四边形AECF的形状,并说明理由.

图T6-6

7.如图T6-7,已知正方形ABCD中,BC=3,点E,F分别是CB,CD延长线上的点,DF=BE,连接AE,AF,过点A作AH⊥ED于点H.

（1）求证:

△ADF≌△ABE;

（2）若BE=1,求tan∠AED的值.

图T6-7

8.[2018·聊城]如图T6-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.

（1）求证:

AE=BF;

（2）若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.

图T6-8

参考答案

1.解:

（1）证明:

∵四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,

∵E是AD的中点,∴AE=DE,

又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,

又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.

（2）BC=2CD.理由:

∵CF平分∠BCD,

∴∠DCE=45°,

∵∠CDE=90°,

∴△CDE是等腰直角三角形,

∴CD=DE,

∵E是AD的中点,∴AD=2CD,

∵AD=BC,∴BC=2CD.

2.解:

（1）证明:

在△DCA和△EAC中,

∴△DCA≌△EAC（SSS）.

（2）添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形（添加的条件不唯一）.证明如下:

∵AB=DC,AD=BC,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∵CE⊥AE,

∴∠E=90°,

由

（1）得:

△DCA≌△EAC,

∴∠D=∠E=90°,

∴四边形ABCD为矩形.

3.解:

（1）证明:

∵AB=AC,AD是BC边上的中线,

∴AD⊥BC,BD=CD.

∵AE∥BC,CE⊥AE,

∴∠DCE=90°,

∴四边形ADCE是矩形,

∴AD=CE.

在Rt△ABD与Rt△CAE中,

∴Rt△ABD≌Rt△CAE.

（2）DE∥AB,DE=AB.证明如下:

如图所示,

由

（1）知四边形ADCE是矩形,

∴AE=CD=BD,又AE∥BD,

∴四边形ABDE是平行四边形,

∴DE∥AB,DE=AB.

4.解:

（1）证明:

∵E为AD的中点,AD=2BC,

∴BC=ED,

∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,

∵∠ABD=90°,AE=DE,

∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.

（2）∵AD∥BC,AC平分∠BAD,

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,

∴BA=BC=1,

∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,

∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°.

∴∠ACD=90°.

在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.

5.解:

（1）证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,∠BAE=∠DCF,

在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF（SAS）.

（2）四边形BEDF是菱形.理由如下:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC,

∵AE=CF,∴DE=BF,

∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD,

∵DG=BG,∴EF⊥BD,

∴四边形BEDF是菱形.

6.解:

（1）证明:

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.

∴∠ABE=∠ADF=135°.

又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF（SAS）.

（2）四边形AECF是菱形.

理由:

连接AC交BD于点O,图略.

则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.

又∵BE=DF,∴OE=OF,

∴四边形AECF是菱形.

7.解:

（1）证明:

正方形ABCD中,

AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°,

∴∠ADF=∠ABE=90°.

在△ADF与△ABE中,

∵AD=AB,∠ADF=∠ABE,DF=BE,

∴△ADF≌△ABE.

（2）在Rt△ABE中,∵AB=BC=3,BE=1,

∴AE=,ED==5,

∵S△AED=AD×BA=ED×AH,

∴AH===1.8.

∴在Rt△AHE中,EH==2.6,

∴tan∠AED===.

8.解:

（1）证明:

∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,

∵BH⊥AE,垂足为点H,

∴∠BAE+∠ABH=90°,

∵∠CBF+∠ABH=90°,

∴∠BAE=∠CBF.

在△ABE和△BCF中,

∴△ABE≌△BCF（ASA）,∴AE=BF.

（2）∵△ABE≌△BCF,

∴CF=BE=2,

∵正方形的边长为5,

∴AD=CD=5,

∴DF=CD-CF=5-2=3.

在Rt△ADF中,

AF===.