高等代数北大版课件6.8线性空间的同构PPT课件下载推荐.ppt

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2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,小结与习题,第六章线性空间,6.8线性空间的同构,一、同构映射的定义,二、同构的有关结论,6.8线性空间的同构,6.8线性空间的同构,我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，V中每一个向量有唯一确定的坐标向量的坐标是P上的n元数组，因此属于Pn.这样一来，取定了V的一组基对于V中每一个向量，令在这组基下的坐标与对应，就得到V到Pn的一个单射反过来，对于Pn中的任一元素是V中唯一确定的元素，并且即也是满射.因此，是V到Pn的一一对应.,引入,6.8线性空间的同构,这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.,任取设,则,归结为它们的坐标的运算.,这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以,从而,6.8线性空间的同构,一、同构映射的定义,设都是数域P上的线性空间，如果映射,具有以下性质：

@#@,则称的一个同构映射，并称线性空间,同构，记作,ii）,iii）,i）为双射,6.8线性空间的同构,为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应,例1、V为数域P上的n维线性空间，,这里为在基下的坐标，,就是一个V到Pn的同构映射，所以,6.8线性空间的同构,1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.,二、同构的有关结论,同构映射，则有,1）,2、设是数域P上的线性空间，的,2）,6.8线性空间的同构,线性相关（线性无关）.,3）V中向量组线性相关（线性无关）,的充要条件是它们的象,4）,5）的逆映射为的同构映射.,是的子空间，且,6）若W是V的子空间，则W在下的象集,6.8线性空间的同构,中分别取即得,证：

@#@1）在同构映射定义的条件iii）,2）这是同构映射定义中条件ii）与iii）结合的结果.,3）因为由,可得,反过来，由,可得,6.8线性空间的同构,而是一一对应，只有,所以可得,因此，线性相关（线性无关）,线性相关（线性无关）.,4）设为V中任意一组基.,由2）3）知，为的一组基.,所以,6.8线性空间的同构,任取,I为恒等变换.,5）首先是11对应，并且,同理，有,所以，为的同构映射.,由于是同构映射，有,再由是单射，有,6.8线性空间的同构,6）首先，,使,于是有,由于W为子空间，所以,从而有,6.8线性空间的同构,由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合,所以是的子空间.,显然，也为W到的同构映射，即,注,及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.,6.8线性空间的同构,证：

@#@设为线性空间的同构,3、两个同构映射的乘积还是同构映射.,映射，则乘积是的11对应.,所以，乘积是的同构映射.,6.8线性空间的同构,同构关系具有：

@#@,反身性：

@#@,对称性：

@#@,传递性：

@#@,注,6.8线性空间的同构,4、数域P上的两个有限维线性空间同构,证：

@#@,若由性质2之4）即得,（法一）若,由性质1，有,6.8线性空间的同构,设分别为V1,V2的一组基.,定义使,则就是V1到V2的一个映射.,（法二：

@#@构造同构映射）,又任取设,从而，所以是单射.,若即则,6.8线性空间的同构,任取设,所以是满射.,再由的定义，有,易证，对有,所以是V1到V2的一个同构映射，故,则有使,6.8线性空间的同构,例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，,证法一：

@#@证维数相等,证明：

@#@,首先，可表成,其次，若则,所以，1，i为C的一组基，,又，,所以，,故，,6.8线性空间的同构,证法二：

@#@构造同构映射,则为C到R2的一个同构映射.,作对应,作成实数域R上的线性空间.,把实数域R看成是自身上的线性空间.,例3、全体正实数R+关于加法与数量乘法：

@#@,证明：

@#@并写出一个同构映射.,6.8线性空间的同构,证：

@#@作对应,易证为的11对应.,且对有,所以，为的同构映射.,故,方法二：

@#@作对应,易证：

@#@为的11对应，而且也为同构映射.,事实上，为的逆同构映射.,6.8线性空间的同构,2）证明：

@#@复数域C看成R上的线性空间与W同构，,设集合,练习,1）证明：

@#@W为的子空间，并求出W的维数,与一组基.,并写出一个同构映射.,