经典专题空间几何的外接球和内切球教师版Word文件下载.docx
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引理：
正三棱锥的对棱互垂直.
如图（3）-1，取
的中点
，连接
交于
，则
是底面正三角形
的中心，
平面
，同理：
，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2，
，故三棱锥
的三棱条侧棱两两互相垂直，
正三棱锥
外接球的表面积是
变式3、在四面体
则该四面体的外接球的表面积为（）.
在
的外接球直径为
，选D.
变式4、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
、
，那么它的外接球的表面积是.
三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
（
），则
变式5、已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为
的等腰直角三角形和边长为
的正方形，则该几何体外接球的体积为.
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
模型1：
如图5，
解题步骤：
第一步：
将
画在小圆面上，
为小圆直径的一个端点，作小圆的直径
必过球心
；
第二步：
为
的外心，所以
，算出小圆
的半径
（三角形的外接圆直径算法：
利用正弦定理，得
），
第三步：
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
模型2：
如图6，7，8，
的射影是
的外心
三棱锥
的三条侧棱相等
的底面
在圆锥的底上，顶点
点也是圆锥的顶点.
确定球心
的位置，取
三点共线；
先算出小圆
，再算出棱锥的高
（也是圆锥的高）；
勾股定理：
，解出
方法二：
小圆直径参与构造大圆.
例2、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）.
D．以上都不对
选C，
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
如图9-1，平面
，且
（即
为小圆的直径）
易知球心
必是
的外心，即
的外接圆是大圆，先求出小圆的直径
中，可根据正弦定理
如图9-2，平面
为小圆的直径）.
模型3：
如图9-3，平面
为小圆的直径），且
三棱
模型4：
如图9-4，平面
例3、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为
，则该球的表面积为.
（1）由正弦定理或找球心都可得
变式1、正四棱锥
的底面边长和各侧棱长都为
，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为.
方法一：
找球心的位置，易知
，故球心在正方形的中心
处，
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是
的外接圆，此处特殊，
的斜边是球半径，
变式2、在三棱锥
侧棱
与底面
所成的角为
，则该三棱锥外接球的体积为（）.
B.
C.4
D.
选D，圆锥
在以
的圆上，
变式3、已知三棱锥
的所有顶点都在球
的求面上,
是边长为
的正三角形,
为球
的直径,且
，则此棱锥的体积为（）.
，选A.
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
模型：
如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
的位置，
是
的外心，则
算出小圆
也是圆柱的高）；
例4、一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
，底面周长为
，则这个球的体积为.
设正六边形边长为
，正六棱柱的高为
，底面外接圆的关径为
底面积为
，球的体积为
变式1、直三棱柱
的各顶点都在同一球面上，若
，则此球的表面积等于.
变式2、已知
所在的平面与矩形
所在的平面互相垂直，
，则多面体
的外接球的表面积为.
折叠型，法一：
的外接圆半径为
法二：
变式3、在直三棱柱
则直三棱柱
类型五、折叠模型
题设：
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）
先画出如图所示的图形，将
画在小圆上，找出
和
过
分别作平面
和平面
的垂线，两垂线的交点即为球心
解
，算出
，在
中，勾股定理：
例5、三棱锥
中，平面
，△
和△
均为边长为
的正三角形，则三棱锥
外接球的半径为.
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（
）
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
设出长方体的长宽高分别为
，列方程组，
补充：
根据墙角模型，
，例如，正四面体的外接球半径可用此法.
例6、棱长为
的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.
截面为
，面积是
变式1、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）.
高
，底面外接圆的半径为
，直径为
，设底面边长为
，三棱锥的体积为
则三棱锥
外接球的表面积为.
如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为
变式3、如图所示三棱锥
，其中
则该三棱锥外接球的表面积为.
同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为
变式4、正四面体的各条棱长都为
，则该正面体外接球的体积为.
这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，
类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型
，求三棱锥
外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点
为三棱锥
外接球球心，然后在
中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.
例7、在矩形
，沿
将矩形
折成一个直二面角
，则四面体
的外接球的体积为（）.
变式、在矩形
折叠，连接
，所得三棱锥
的中点是球心
类型八、锥体的内切球问题
如图14，三棱锥
上正三棱锥，求其外接球的半径.
先现出内切球的截面图，
分别是两个三角形的外心；
求
是侧面
的高；
由
相似于
，建立等式：
如图15，四棱锥
上正四棱锥，求其外接球的半径.
，解出.
是任意三棱锥，求其的内切球半径.
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.
先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
设内切球的半径为
解出
二、课后巩固
1．若三棱锥
的三条侧棱两两垂直，且
，则该三棱锥的外接球半径为（）.
A.
B.
C.
D.
2.三棱锥
中，侧棱
，底面
的正三角形，
，则该三棱锥的外接球体积等于.
，外接球体积
3．正三棱锥
中，底面
的正三角形，侧棱长为
外接圆的半径为，三棱锥
的直径为
，外接球半径
或
4．三棱锥
边长为
，则三棱锥
的外接圆是大圆，
5.三棱锥
6.三棱锥
是公共的斜边，
，球半径为
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