圆中常见地辅助线Word文档下载推荐.docx
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∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC=OD
∴Rt△COM≌Rt△DON
∴∠COA=∠DOB
∴
（二）连结AC、OC、OD、BD
∴AC=OCBD=OD
∵OC=OD∴AC=BD∴
3.有弦中点时常连弦心距
如图，已知M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点,AB=CD，求证：
∠AMN=∠CNM
连结OM、ON
∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点
∴OM⊥ABON⊥CD
∵AB=CD∴OM=ON
∴∠OMN=∠ONM
∵∠AMN=90o－∠OMN
∠CNM=90o－∠ONM
∴∠AMN=∠CNM
4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.
如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证：
过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N
∵O1P=O2P∴O1M=O2N∴AC=BD
二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
⑴连结过弧中点的半径
⑵连结等弧所对的弦
⑶连结等弧所对的圆心角
如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：
CD=CE
连结OC
∵C为弧AB的中点
∴
∴∠AOC=∠BOC
∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO=BO
∴OD=OE=
AO=
又∵OC=OC
∴△ODC≌△OEC
∴CD=CE
3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.
如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：
AC=DC
连结AD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADP=90o
∵AC=PC
∴AC=CD=
AP
例（2005年市）如图2，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且
。
求证：
PA是⊙O的切线。
证明：
作⊙O的直径AD，连BD，则
即
∵
∴PA为⊙O的切线。
四．遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：
利用圆周角的性质，可得到直径。
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90o,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：
五.有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦
⑵作等弧所对的圆心角
⑶作等弧所对的圆周角
1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：
∠AMD=∠FMC（提示：
连结BM）
2.如图，△ABC接于⊙O，D、E在BC边上，且BD=CE，∠1=∠2，求证：
AB=AC
（提示如图）
六.有弦中点时，常构造三角形中位线.
已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：
OE=
AD
作直径CF，连结DF、BF
∵CF为⊙O的直径
∴CD⊥FD
又∵CD⊥AB
∴AB∥DF
∴AD=BF
∵OE⊥BCO为圆心CO=FO
∴CE=BE∴OE=
BF
∴OE=
七.圆上有四点时，常构造圆接四边形.
如图，△ABC接于⊙O，直线AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：
AB·
AC=AD·
AE
连结BE
∵∠1=∠3∠2=∠1
∴∠3=∠2
∵四边形ACBE为圆接四边形
∴∠ACD=∠E
∴△ABE∽△ADC
∴AB·
八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦
如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B的直线分别交⊙O1、⊙O2于E、F.求证：
CE∥DF
连结AB
∵四边形为圆接四边形
∴∠ABF=∠C
同理可证：
∠ABE=∠D
∵∠ABF＋∠ABE=o
∴∠C＋∠D=o
∴CE∥DF
九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.
⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.
例1：
如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.
PA、PB为⊙O的切线
连结OA
∵PO为直径
∴∠PAO=90o∴OA⊥PA
∵OA为⊙O的半径
∴PA为⊙O的切线
同理：
PB也为⊙O的切线
例2：
如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：
CD是小圆的切线
连结OE，过O作OF⊥CD于F
∵OE为半径，AB为小圆的切线
∴OE⊥AB
∵OF⊥CD,AB=CD
∴OF=OE
∴CD为小圆的切线
如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E,
PE是⊙O的切线
十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=12，BC=9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD长.
解：
连结OE，则OE⊥AC
∵BC⊥AC∴OE∥BC
在Rt△ABC中，AB=
∴OE=OB=
∴BD=2OB=
∴AD=AB－DB=15－
=
答：
AD的长为
.
如图，⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：
PC=CD
十一．
遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
据切线长及其它性质，可得到：
①角、线段的等量关系；
②垂直关系；
③全等、相似三角形。
十二．遇到三角形的切圆时
连结心到各三角形顶点，或过心作三角形各边的垂线段。
利用心的性质，可得：
①
心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②
心到三角形三条边的距离相等。
在处理心的问题时，常需连结顶点与心，以便利用切圆的圆心是三角形角平分线交点这一性质。
十三．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点
外心到三角形各顶点的距离相等。
十四．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、公切线的问题）
常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。
①利用切线的性质；
利用解直角三角形的有关知识。
十五．遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦
常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。
①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；
②利用圆接四边形的性质；
③利用两圆公共的圆周的性质；
垂径定理。
1.作相交两圆的公共弦
利用圆接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。
例1.如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。
CE＝DF。
图1
分析：
CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆接四边形ABEC和ABFD，利用圆接四边形的性质，则易证明。
因为
又
所以
即CE//DF
又CD//EF
所以四边形CEFD为平行四边形即CE＝DF
2.作两相交圆的连心线
利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。
例2.⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为
和
，公共弦长为12。
求
的度数。
图2
公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求
的度数，可利用角的和或差来求解。
解：
当AB位于O1、O2异侧时，如图2。
连结O1、O2，交AB于C，则
分别在
中，利用锐角三角函数可求得
故
当AB位于O1、O2同侧时，如图3
图3
则
综上可知
或
已知，⊙O1与⊙O2交于A、B，⊙O1的弦AC切⊙O2于A，过B作直线交两圆于D、E。
DC∥AE。
分析:
由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得∠D=∠CAB,由切线知∠CAB=∠E,即∠D=∠E即得证。
如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点。
经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D；
经过点B的直线EF于⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。
CE∥DF.
例、如图8，在梯形ABCD中，以两腰
AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点，
过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。
MN⊥AB。
分析：
因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，
必有MN⊥O1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2//AB，从而易证MN⊥AB。
证明连结O1O2交EF于G=>
MN⊥O1O2。
DO1=O1A，CO2=O2B=>
O1O2是梯形ABCD的中位线=>
O1O2//AB
=>
∠EFA=∠EGO1=Rt∠=>
MN⊥AB
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
16．遇到两圆相切时
两个相切圆不离公切线
常常作连心线、公切线。
①利用连心线性质；
②弦切角性质；
③切线性质等。
例3.如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。
求证PC平分
图4
要证PC平分
，即证
而
的边分布在两个圆中，难以直接证明。
若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T
易知
由弦切角定理，得
是
的一个外角
从而有
即PC平分
例3:
已知,⊙O1和⊙O2外切于A,直线BC切⊙O1于B,切⊙O2于C。
AB⊥AC（人教版课本P87例4）
分析1：
口诀“两个相切圆不离公切线”,过A作两圆的公切线,则∠1=∠2,∠3=∠4,又∠1+∠2+∠3+∠4=180,则∠2+∠3=9
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