圆中常见地辅助线Word文档下载推荐.docx

1、CMOA、DNOB、OC = ODRtCOMRtDONCOA = DOB（二）连结AC、OC、OD、BDAC = OC BD = ODOC = OD AC = BD 3.有弦中点时常连弦心距如图，已知M、N分别是O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：AMN = CNM连结OM、ONO为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点OMAB ONCDAB = CD OM = ONOMN = ONMAMN = 90oOMN CNM = 90oONMAMN =CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.如图，已知O1与O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交O1、O2于A、C、D、B.求

2、证：过O1作O1MAB于M,过O2作O2NAB于N，则O1MO2NO1P = O2P O1M = O2N AC = BD二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：连结过弧中点的半径连结等弧所对的弦连结等弧所对的圆心角如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD = CE连结OCC为弧AB的中点 AOC =BOCD、E分别为OA、OB的中点，且AO = BOOD = OE = AO = 又OC = OC ODCOEC CD = CE3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.如图，AB为O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一

3、点，且AC = PC,PB的延长线交O于D，求证：AC = DC连结ADAB为O的直径 ADP = 90o AC = PC AC = CD =AP例（2005年市）如图2，P是O的弦CB延长线上一点，点A在O上，且。求证：PA是O的切线。 证明：作O的直径AD，连BD，则 即PA为O的切线。四遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。如图，在RtABC中，BCA = 90o ,以BC为直径的O交AB于E，D为AC中点，连结BD交O于F.求证：五.有等弧时常作辅助线有以下几种：作等弧所对的弦作等弧所对的圆心角作等弧所对的圆周角1.如图，O的直径

4、AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交O于M.求证：AMD =FMC（提示：连结BM）2.如图，ABC接于O，D、E在BC边上，且BD = CE，1 =2，求证：AB = AC（提示如图）六.有弦中点时，常构造三角形中位线.已知，如图，在O中，ABCD，OEBC于E，求证：OE =AD作直径CF，连结DF、BFCF为O的直径CDFD又CDABABDFAD = BFOEBC O为圆心 CO = FOCE = BE OE =BFOE =七.圆上有四点时，常构造圆接四边形.如图，ABC接于O，直线AD平分FAC，交O于E，交BC的延长线于D，求证：ABAC = ADAE连结BE

5、1 =3 2 =13 =2四边形ACBE为圆接四边形ACD =EABEADCAB八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦如图，O1与O2相交于A、B，过A的直线分别交O1、O2于C、D，过B的直线分别交O1、O2于E、F.求证：CEDF连结AB四边形为圆接四边形ABF =C 同理可证：ABE =DABF ABE =oCD =oCEDF九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例1：如图，P为O外一点，以OP

6、为直径作圆交O于A、B两点，连结PA、PB.PA、PB为O的切线连结OA PO为直径PAO = 90o OAPAOA为O的半径PA为O的切线同理：PB也为O的切线例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线连结OE，过O作OFCD于FOE为半径，AB为小圆的切线OEABOFCD, AB = CDOF = OECD为小圆的切线如图，等腰ABC，以腰AB为直径作O交底边BC于P，PEAC于E,PE是O的切线十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.如图，在RtABC中，C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是

7、AB上一点，以BD为直径的O切AC于E，求AD长.解：连结OE，则OEACBCAC OEBC在RtABC中，AB = OE = OB = BD = 2OB = AD = ABDB = 15= 答：AD的长为.如图，O的半径OAOB，点P在OB的延长线上，连结AP交O于D，过D作O的切线CE交OP于C，求证：PC = CD十一 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。十二遇到三角形的切圆时连结心到各三角形顶点，或过心作三角形各边的垂线段。利用心的性质，可得： 心到三角形三个顶点的

8、连线是三角形的角平分线； 心到三角形三条边的距离相等。在处理心的问题时，常需连结顶点与心，以便利用切圆的圆心是三角形角平分线交点这一性质。十三遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点外心到三角形各顶点的距离相等。十四遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。利用切线的性质； 利用解直角三角形的有关知识。十五遇到两圆相交时 两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； 利用圆接四边形的性质； 利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。1. 作相交两圆的公共弦 利用圆接四边形的性质或

9、公共圆周角，沟通两圆的角的关系。 例1. 如图1，O1和O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD/EF，与两圆相交于C、D、E、F。CEDF。图1 分析：CE和DF分别是O1和O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆接四边形ABEC和ABFD，利用圆接四边形的性质，则易证明。 因为 又 所以 即CE/DF 又CD/EF 所以四边形CEFD为平行四边形 即CEDF 2.作两相交圆的连心线 利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。 例2. O1和O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。求的度数。图2公共弦AB可位于

10、圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解。 解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。 连结O1、O2，交AB于C，则分别在中，利用锐角三角函数可求得 故 当AB位于O1、O2同侧时，如图3图3 则 综上可知或已知，O1与O2交于A、B，O1的弦AC切O2于A，过B作直线交两圆于D、E。DCAE。分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得D=CAB, 由切线知CAB=E,即D=E即得证。如图O1和O2都经过A、B两点。经过点A的直线CD与 O1交于点C，与 O2交于点D；经过点B的直线EF于 O1交于点E，与 O2交于点F。CEDF.例、如图8，在梯形ABCD中，以

11、两腰AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点，过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。 MNAB。分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，必有MNO1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2/AB，从而易证MNAB。证明 连结O1O2交EF于G = MNO1O2。 DO1=O1A，CO2=O2B = O1O2是梯形ABCD的中位线 = O1O2/AB =EFA=EGO1=Rt = MNAB说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。16遇到两圆相切时 两个相切圆不离公切线常常作连心线、公切线。利用连心线性质； 弦切角性质； 切线性质等。例3. 如图4，O1和O2外切于点P，A是O1上的一点，直线AC切O2于C，交O1于B，直线AP交O2于D。求证PC平分图4要证PC平分，即证 而的边分布在两个圆中，难以直接证明。 若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T 易知 由弦切角定理，得是的一个外角 从而有 即PC平分例3:已知, O1和O2外切于A,直线BC切O1于B,切 O2于C。ABAC（人教版课本P87例4）分析1：口诀“两个相切圆不离公切线”,过A作两圆的公切线,则1=2, 3=4,又1+2+3+4=180,则2+3=9