全国高中数学联合竞赛代数题汇总Word文件下载.docx
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满足以下条件:
(ⅰ)
;
(ⅱ)
存在;
(ⅲ)
[证]必要性:
假设存在
满足(ⅰ),(ⅱ),(iii).注意到(ⅲ)中式子可化为
,其中
.
将上式从第1项加到第
项,并注意到
得
.…10分
由(ⅱ)可设
,将上式取极限得
因此
.…20分
充分性:
假设
.定义多项式函数如下:
则
在[0,1]上是递增函数,且
因此方程
在[0,1]内有唯一的根
,且
,即
.…30分
下取数列
为
,则明显地
满足题设条件(ⅰ),且
因
,故
,因此
的极限存在,满足(ⅱ).…40分
最后验证
满足(ⅲ),因
,从而
综上,存在数列
满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ).…50分
2006:
在此记号系统下,原方程组的第一个方程为
(3.1)于是
2005:
2004:
2002:
二、(本题满分50分)实数
和正数
使得
有三个实根
,且满足:
①
②
求证:
解:
∵f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)[x2+(a+x3)x+x32+ax3+b]
∴x1,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b的两个根
∵x2-x1=λ
∴(a+x)2-4(x32+ax3+b)=λ2
3x32+2ax3+λ2+4b-a2=0
∵x3>
(x1+x2)∴
(Ⅰ)
且4a2-12b-3λ2≥0(Ⅱ)…………10分
∵f(x)=x3+ax2+bx+c
=
…………20分
∵f(x3)=0∴
(Ⅲ)
由(Ⅰ)得
记p=
,由(Ⅱ)和(Ⅲ)可知p≥
且
令y=
,则y≥0且
…………30分
∵
=
≥0
∴
…………40分
∴取a=2
b=2,c=0,λ=2,则f(x)=x3+ax2+bx+c有根
,0
显然假设条件成立,且
综上所述,
的最大值是
…………50分
2001:
二、设
(
),且
,求
的最大值与最小值。
先求最小值,因为
≥1
等号成立当且仅当存在i使得xi=1,xj=0,j=i∴
最小值为1.………10分
再求最大值,令
①
设
,令
则①⇔
…………………………………………………………30分
令
=0,则
由柯西不等式得:
等号成立⇔
由于a1≥a2≥…≥an,从而
,即xk≥0
所求最大值为
…………………………………………………50分
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