最新高等数学上册期末考试试题含答案AEQWord下载.docx

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而

收敛，故

绝对收敛．

4．设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。

如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素

（图22）

则

故所求引力的大小为

，方向自N点指向圆弧的中点。

5．设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>

0求

d）星形线所围面积；

e）绕x轴旋转所得旋转体的体积；

f）星形线的全长．

（1）

．

（2）

（3）xt′=3acos2tsint

yt′=3asin2tcost

xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，

6．求下列曲线段的弧长：

a），0≤x≤2；

见图18，2yy′=2．

∴．从而

（18）

b）y=lnx，；

c）；

=4.

7．求下列各曲线所围图形的面积：

（1）与x2+y2=8（两部分都要计算）；

如图D1=D2

解方程组得交点A（2，2）

∴,

（2）与直线y=x及x=2；

.

（3）y=ex，y=ex与直线x=1；

（3）

（4）y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．（b>

a>

0）；

（4）

（5）抛物线y=x2和y=x22；

解方程组得交点（1，1），（1，1）

（5）

（6）y=sinx，y=cosx及直线；

．

（6）

（7）抛物线y=x2+4x3及其在（0，3）和（3，0）处的切线；

y′=2x+4．∴y′（0）=4，y′（3）=2．

∵抛物线在点（0，3）处切线方程是y=4x3

在（3，0）处的切线是y=2x+6

两切线交点是（，3）．故所求面积为

（7）

（8）摆线x=a（tsint），y=a（1cost）的一拱（0≤t≤2π）与x轴；

当t=0时，x=0,当t=2π时，x=2πa．

（8）

（9）极坐标曲线ρ=asin3φ；

（9）

（10）ρ=2acosφ；

（10）

8．讨论下列广义积分的敛散性：

;

原式=

故该广义积分当

时收敛；

时发散.

.

综上所述，当k<

1时，该广义积分收敛，否则发散.

9．已知

求

10．问a，b为何值时，点（1，3）为曲线y=ax3+bx2的拐点？

y′=3ax2+2bx,y″=6ax+2b

依题意有

解得

11．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：

令

，

则曲线y=f（x）是凹的，因此

即

令f（x）=ex

则曲线y=f（x）是凹的，

令f（x）=xlnx（x>

0）

则曲线

是凹的，

，x≠y，有

12．判定下列曲线的凹凸性：

（1）y=4x－x2；

，故知曲线在

内的图形是凸的.

（2）

；

由sinhx的图形知，当

时，

，当

故y=sinhx的曲线图形在

内是凸的，在

内是凹的.

，故曲线图形在

是凹的.

（4）y=xarctanx.

故曲线图形在

13．试证明：

如果函数

满足条件

，那么这函数没有极值.

，令

，得方程

由于

，那么

无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.

14．将f（x）=2+|x|（-1≤x≤1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数

的和.

f（x）在（-∞,+∞）内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f（x）是偶函数，故bn=0,（n=1,2,…）

，x∈[-1,1]

取x=0得，

，故

15．验证：

函数

在

上满足罗尔定理的条件，并求出相应的

，使

在区间

上连续，在

上可导，且

，即在

上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点

使

.事实上，由

得

故取

，可使

16．设

求

解:

17．一点沿对数螺线

运动，它的极径以角速度

旋转，试求极径变化率.

18．求函数

处的

阶泰勒公式.

19．利用麦克劳林公式，按

乘幂展开函数

因为

是

的6次多项式，所以

计算出：

故

20．求自由落体运动

的加速度.

即为加速度.

21．已知

求当

时

的值.

22．已知

，求

当

不存在.

又

综上所述知

23．如果

为偶函数，且

24．设

25．设

上连续，且

，证明：

至少存在一点

令

则

若

，则

若

由零点定理，至少存在一点

使

即

综上所述，至少存在一点

26．当x=0时，下列函数无定义，试定义

的值，使其在x=0处连续:

∴补充定义

可使函数在x=0处连续.

27．研究下列函数的连续性，并画出图形：

（1）由初等函数的连续性知，

在（0，1），（1，2）内连续，

又

而

处连续，

又，由

，知

处右连续，

综上所述，函数

在[0，2）内连续.函数图形如下：

图1-2

（2）由初等函数的连续性知

内连续，又由

知

不存在，于是

处不连续.

又由

及

，从而

在x=1处连续，

内连续，在

处间断.函数图形如下：

图1-3

（3）∵当x<

0时，

当x=0时，

当x>

由初等函数的连续性知

内连续，

又由

不存在，从而

处间断.综上所述，函数

处间断.图形如下：

图1-4

（4）当|x|=1时，

当|x|<

1时，

当|x|>

在（－∞,－1）,（－1,1）,（1,+∞）内均连续，又由

综上所述，

在（－∞,－1）,（－1,1）,（1,+∞）内连续，在

处间断.

图形如下：

图1-5

28．当

时，无穷小量

与

是否同阶？

是否等价？

∴当

是与

同阶的无穷小.

等价的无穷小.

29．利用重要极限

，求下列极限：

（6）令

，则当

30．试证:

方程

只有一个实根.

证明:

设

为严格单调减少的函数，因此

至多只有一个实根.而

，即

为

的一个实根，故

只有一个实根

，也就是

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1．无

2．无

3．无

4．无

5．无

6．无

7．无

8．无

9．无

10．无

11．无

12．无

13．无

14．无

15．无

16．无

17．无

18．无

19．无

20．无

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无