中考数学题库二次函数压轴题面积问题Word格式文档下载.docx

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解得x＝－1±

，

∴点P的坐标为（－1＋

，－3）或（－1－

，－3）．

综上，当S△ABP＝S△ABC时，点P的坐标为（－2，3）或（－1＋

2.如图，抛物线y＝Ax2＋2x＋C经过点A（0，3），B（－1，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4，若存在，请求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由．

第2题图

（1）∵抛物线y＝Ax2＋2x＋C经过点A（0，3），B（－1，0），

∴

解得

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；

（2）∵抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，

y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，

B（－1，0），

∴点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0），

∴DE＝4，BE＝2，

∴BD＝

＝

＝2

∴BD的长是2

；

（3）在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4.

设点M的坐标为（1，M），

令－x2＋2x＋3＝0得x＝－1或3，

∴点C的坐标为（3，0），

∴BC＝3－（－1）＝4，

∵△MBC的面积是4，

∴S△BCM＝

＝4，

解得M＝±

2，

∴点M的坐标为（1，2）或（1，－2）．

3.如图，抛物线y＝

x2－

x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；

第3题图

（1）令y＝0，则

x－2＝0，

解得x1＝－1，x2＝4，

∴A（－1，0），B（4，0），

令x＝0，得y＝－2，

∴C（0，－2）；

（2）∵C，D两点关于x轴对称，

∴D（0，2），

设直线BD的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

将B、D坐标代入可得

∴直线BD的解析式为y＝－

x＋2；

（3）存在这样的点P，使得△PBD的面积最大．

设P（m，

m2－

m－2），

如解图，过点P作PE⊥x轴于点F，与BD交于点E，

第3题解图

则E点坐标为（m，－

m＋2），

∴PE＝（－

m＋2）－（

m2－

m－2）＝－

m2＋m＋4，

∴S△PBD＝S△PDE＋S△PEB

PE·

OF＋

BF

OB

×

（－

m2＋m＋4）×

4

＝－m2＋2m＋8

＝－（m－1）2＋9，

当m＝1时，S△PBD取得最大值，最大值为9，

此时

m－2＝－3，

∴P（1，－3）．

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝Ax2＋2Ax＋C的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（－3，0）．

（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M的坐标；

（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，当点P在何处时△CPB的面积最大？

求出最大面积？

并求出此时点P的坐标．

第4题图

（1）根据题意将B（－3，0），C（0，3）代入抛物线解析式，

得

，解得

∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3，

将其化为顶点式为y＝－（x＋1）2＋4，

∴顶点D的坐标为（－1，4）；

（2）如解图①，连接OD、AD、AD与y轴交于点F，

第4题解图①

S△OBD＝

3×

4＝6，S四边形ACDB＝S△ABD＋S△CDF＋S△ACF＝

4×

4＋

1×

1＋

1＝9，

因此直线OM必过线段BD，

由B（－3，0），D（－1，4）得线段BD的解析式为y＝2x＋6，

设直线OM与线段BD交于点E，

则△OBE的面积可以为3或6.

①当S△OBE＝3时，

yE＝3，解得yE＝2，将y＝2代入y＝2x＋6中，得x＝－2，

∴E点坐标（－2，2）．

则直线OE的解析式为y＝－x.

设M点坐标为（x，－x），联立抛物线的解析式可得－x＝－x2－2x＋3，

解得x1＝

，x2＝

（舍去）．

∴点M（

）；

②当S△OBE＝6时，

yE＝6，解得yE＝4，

将y＝4代入y＝2x＋6中得x＝－1，此时点E、M、D三点重合．

∴点M坐标为（－1，4）；

综上所述，点M的坐标为（

），（－1，4）．

（3）如解图②，连接OP，设P点的坐标为（M，－M2－2M＋3），

第4题解图②

∵点P在抛物线上，

∴S△CPB＝S△CPO＋S△OPB－S△COB

OC·

（－M）＋

OB·

（－M2－2M＋3）－

＝－

M＋

（M2＋3M）

（M＋

）2＋

.

∵－3＜M＜0，

∴当M＝－

时，（－M2－2M＋3）＝

，△CPB的面积有最大值

∴当点P的坐标为（－

）时，△CPB的面积有最大值，且最大值为

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－

x2＋Bx＋C的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（－4，0）．

（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；

（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.

①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

第5题图

（1）∵二次函数y＝－

x2＋Bx＋C过A（0，8）、B（－4，0）两点，

∴二次函数的解析式为y＝－

x2＋x＋8，

当y＝0时，解得x1＝－4，x2＝8，

∴C点坐标为（8，0）；

（2）①如解图，连接DF，OF，设F（M，－

M2＋M＋8），

第5题解图

∵S四边形OCFD＝S△CDF＋S△OCD＝

S△ODF＋S△OCF，

∴S△CDF＝S△ODF＋S△OCF－S△OCD，

8×

M2＋M＋8）－

＝2M－M2＋4M＋32－16

＝－M2＋6M＋16

＝－（M－3）2＋25，

当M＝3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，

∵四边形CDEF为平行四边形，

∴S四边形CDEF＝2S△CDF＝50，

∴S的最大值为50；

②S＝18.

【解法提示】∵四边形CDEF为平行四边形，

∴CD∥EF，CD＝EF，

∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，

∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（M－8，－

M2＋M＋12），

∵E（M－8，－

M2＋M＋12）在抛物线上，

∴－

（M－8）2＋（M－8）＋8＝－

M2＋M＋12，

解得M＝7，

当M＝7时，S△CDF＝－（7－3）2＋25＝9，

∴此时S＝2S△CDF＝18.

6.如图，抛物线y＝Ax2＋Bx－3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴L为直线x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．

第6题图

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）小唐探究点P的位置时发现：

当动点N在对称轴L上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出此时点P的坐标；

（3）是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？

若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值，若不存在，请说明理由．

（1）y＝x2＋2x－3；

【解法提示】∵A（1，0），对称轴L为直线x＝－1，

∴B（－3，0），将AB两点坐标代入得，

∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.

（2）如解图①，过点P作PM⊥x轴于点M，连接BP，过点B作BN⊥PB交直线L于点N，

设抛物线的对称轴与x轴交于点Q，

第6题解图①

∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°

∴∠PBM＋∠NBQ＝90°

∵∠PMB＝90°

∴∠PBM＋∠BPM＝90°

∴∠BPM＝∠NBQ.

又∵PB＝NB，

∴△BPM≌△NBQ.

∴PM＝BQ.

由

（1）得y＝x2＋2x－3，

∴Q（－1，0），B（－3，0）

∴BQ＝2，

∴PM＝BQ＝2.

∵点P是抛物线y＝x2＋2x－3上B、C之间的一个动点，且点P的纵坐标为－2，

将y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3，

解得x1＝－1－

，x2＝－1＋

（不合题意，舍去），

∴点P的坐标为（－1－

，－2）；

（3）存在．如解图②，连接AC，BC，CP，PB，过点P作PD∥y轴交BC于点D，

第6题解图②

∵A（1，0），B（－3，0），C（0，－3），

∴S△ABC＝

4＝6，

直线BC的解析式为y＝－x－3.

设P（T，T2＋2T－3），则D（T，－T－3），

∴S△BPC＝

（－T－3－T2－2T＋3）＝－

T2－

T，

∴S四边形PBAC＝－

T＋6

（T＋

当T＝－

时，S四边形PBAC存在最大值，最大值为

此时点P的坐标为（－

，－

）．

7.如图，抛物线y＝－

x2＋

x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A点坐标为（－3，0），连接BC、AC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E从点B出发，沿x轴向点A运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线L平行于AC，交BC于点D，设BE的长为M，△BDE的面积为S，求S关于M的函数关系式，并写出自变量M的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值．

第7题图

（1）∵抛物线y＝－

x＋c过A点，且A（－3，0），

∴0＝－

9－

3＋c，解得c＝9，

∴抛物线的解析式为y＝－

x＋9；

（2）∵抛物线的解析式为y＝－

x＋9，

∴C点坐标为（0，9），

∴OC＝9，

令y＝0可得－

x＋9＝0，解得x＝－3或x＝6，

∴B点坐标为（6，0），

∴AB＝6－（－3）＝9；

设