离散数学图论与关系中有图题目Word格式文档下载.docx
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时即
在彼得森图G中,存在奇数长的基本回路,因而
,又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路,且
,由定理
)
例2给右边三个图的顶点正常着色,每个图至少需要几种颜色。
答案:
(1)
(2)
(3)
例3有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T要放进贮藏室保管。
出于安全原因,下列各组药品不能贮在同一个室内:
A-R,A-C,A-T,R-P,P-S,S-T,T-B,B-D,D-C,R-S,R-B,
P-D,S-C,S-D,问贮藏这8种药品至少需要多少个房间?
解以8种药品作为结点,若两种药品不能贮在同一个室内,则它们之间有一条边,这样得右图,转化为图的正常着色问题。
(1)对各结点按度数的递减顺序排列为SRDPCTAB;
(2)对S及不与之相邻点A,B着
色;
(3)对R及不与之相邻点D着
(4)对P和C着
色。
故着色数
又因为因S,D,P为
子图,故着色数
,从而
因此贮藏这8种药品至少需要3个房间。
贮藏方式之一为SAB,RDT,PC。
(考试排考或老师排课让选修的学生避免冲突的问题类似处理!
二、强连通一定单向连通,单向连通一定弱连通!
三、
1、设G为无向欧拉图,求G中一条欧拉回路的Fleury算法如下:
第1步,任取G中的一个结点
,令
第2步,假设
已选好,按下面方法从
中选
:
与
相关联,
(2)除非无别的边可供选择,否则
不应该是
的断边;
第3步,当第2步不能执行时,算法停止。
(有向欧拉图的欧拉回路可类似求出,可用于解决邮路问题)
邮路问题用图论的概念描述如下:
在一个带权图G中,怎样找到一条回路C,使得C包含G中的每一条边至少一次,而且回路C具有最小权。
C分以下三种情况:
(1)如果G是欧拉图,必定有欧拉回路,C即可找到;
(2)如果G是具有从
到
的欧拉通路的半欧拉图,C的构造如下:
找到从
的欧拉通路及
的最小权通路(即最短路径)--这两条通路和并在一起就是最小权回路;
(3)如果G不是半欧拉图,一般说来,G中包含多条边的回路,其中夫的边数与奇数结点数目有关,若奇数结点多于2,则回路中会出现更多的重复的边。
问题是怎样使重复边的权综合最小。
在理论上已证明:
一条包括G的所有边的回路C具有最小权当且仅当:
(1,每条边最多重复一次,(2,在G的每个回路上,有重复边的权之和小于回路权的一半。
例:
求右图所示的带权图中最优投递路线,邮局在D点。
解先观察奇度结点,此图中有E,F两个。
用标号法求出其间最短路径EGF,其权为28。
然后将最短路径上的边重复一次,于是得欧拉图
,求从D出的一条欧拉回路,如DEGFGEBACBDCFD,其权为281=35+8+20+20+8+40+50+30+19+6+12+10+23。
2、求接近最小权哈密顿回路的“最邻近”算法:
设
是有
个顶点的无向完全图,
(1)任取
作为始点,令L为
(2)令
,置
置
(3)若
,转
(2);
(4)置
,结束。
(可近似解决货郎担问题)
例1用最邻近算法求下图的最短哈密尔顿回路。
所得长度为14+6+5+5+7=37,与最短7+8+5+10+6=36很接近了!
例2求下图的最短哈密尔顿回路。
三条比较,最小权为47。
例3已知A,B,C,D,E,F,G7个人中,A会讲英语,B会讲英语和汉语,C会讲英语、意大利语和俄语,D会讲日语和汉语,E会讲意大利语和德语,F会讲俄语,G会讲俄语、日语和法语。
能否将他们的座位安排在圆桌旁,使得每个人都能与他身边的人交谈?
(按哈密尔顿回路安排就是了!
例411个学生要共进晚餐,他们将坐成一个圆桌,计划要求每次晚餐上每个学生有完全不同的邻座,这样能攻进晚餐几天?
(
共有
条边,每条哈密尔顿回路有11条边,因而共有5条没有公共边的哈密尔顿回路,可吃5天!
分别用2,3,4,5与11互素,以它们为步长能找到!
半哈密顿图与哈密顿图补例:
补充内容:
设G是无向完全图,若对G的每条边指定一个方向,所得的图称为竞赛图。
证明:
在无又向回路(或有向圈)的竞赛图
中,对任意
(用反证法,见于《离散数学习题与解析》胡辛启清华第2版)
可以证明:
对于每个竞赛图D,至多改变一条边的方向后就可以变成哈密尔顿图。
四、求最小生成树
1、破圈法过程演示
(1)令
(2)选取
中的一条简单回路C,设C中权最大的边为e,令
(3)重复步骤
(2),直到
为止。
题目
最后结果
2、Kruskal算法过程演示
(1)首先将边按权值由小到大排成序列S,令
选取边
中的边不构成简单回路,则令
3、Prim算法过程演示
(1)从V中任意选取结点
(2)在
之间选一条权最小的边
,其中
并且令
增加破圈法一例演示:
4、求下列最小生成树的权值
C(T)=1+2+3=6
C(T)=1+2+3+1=7
C(T)=1+3+4+8+9+23=48
C(T)=1+2+3+5+7=18
C(T)=3+6+6+7=22
C(T)=4+5+6+7=22
C(T)=2+3+4+5+6+10=30
C(T)=2+2+3+5+6+100=118
C(T)=8+9+4+7=28
C(T)=1+3+3+2+1=10
5、在右图所示的带权图中,共有多少棵生成树,他们的权各为多少?
,其中哪些是图中的最小生成树?
五、求最优二叉树
对给定的实数序列
,构造最优
元树的递归算法:
1、求最优二元树的Huffman算法:
第一步,连接以
为权的两片树叶,得一个分支点及其所带的权
第二步,在
中选出两个最小的权,连接它们对应的结点(不一定都是树叶),又得分支结点及其所带的权;
重复第二步,直到形成
个分支点,
片树叶为止。
2、求最优
元树的Huffman算法:
(1)若
为整数,则求法与求最优二元树的Huffman算法类似,只是每次取
个最小的权;
(2)若
不为整数,得余数
,将
个较小的权对应的树叶为兄弟放在最长的路径上,然后算法同
(1)。
1、找出叶的权分别为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41的最优叶加权二叉树,并求其加权路径的长度。
2、求带权为2,3,5,7,8的最优二元树T,并给出T对应的二元前缀码集合。
(B={00,010,011,10,11},W(T)=
3、求带权为1,2,3,4,5,6,7,8的最优二元树T,并给出T对应的二元前缀码集合。
(B={000,001,01000,01001,0101,011,10,11},W(T)=102)
4、
(1)求带权为1,1,2,3,3,4,5,6,7的最优三元树;
(2)求带权为1,1,2,3,3,4,5,6,7,8的最优三元树
C(T1)=61,C(T2)=81
六、如图G
图中的边割集有
图中的点割集为
(有割点的连通图不能是哈密尔顿图。
因而若是
连通图且有割点
,则
中至少有两个连通分支,即
,与定理矛盾。
七、例1如图G
图中的一个对集为边集(5,12,3).一个最大对集为M*=(1,3,11,14),
完美对集有:
(1,3,11,14),(1,3,10,12),(1,6,9,14),(1,7,8,14),(2,4,11,14),(2,4,10,12),
(2,5,7,14),(1,7,10,13)
G的全体结点是一个覆盖,一个最小覆盖为
独立集有如
,最大独立集为
边覆盖有如
,最小边覆盖为
可以验证定理
由于该无孤立点的图中
,从而不是二分图。
例2如右彼得森图。
红点集合为一最小点覆盖集,白点集合为最大点独立集,点覆盖数
,点独立数
绿边组成最小边覆盖集,这里也是一个最大匹配,边覆盖数
,边独立数(匹配数)
(彼得森图不是平面图,因为它的顶点数
,边数
,而它的每个面至少由5条边组成,由
有推论
矛盾)
例3现有4名教师:
张、王、李、赵,要求他们去教4门课程:
数学、物理、电工和计算机科学。
已知张能教数学和计算机科学,王能教物理和电工,李能教数学、物理和电工,而赵只能教电工。
如何安排才能使4位教师都能授课,而且每门课都有人教?
共有几种方案?
(画出二部图,满足相异性条件,因而存在完备匹配。
该题匹配也是完美的,方案只有一种)
八、作出下列度数列的非同构图
1、度数列d为2,2,2,3,3,4,5,5的八阶13边。
可作图以下两图为例:
2、度数列d为2,3,3,3,4,4,5的七阶12边。
3、度数列d为1,3,3,4,6,6,7的七阶无向图。
4、6阶2-正则图只有两种非同构情况
5、6阶3-正则图也只有两种非同构情况
九、求最短通路的过程演示
1、Dijkstra算法(1959年提出)是公认的好算法:
第一步,给始点
标上P标号
,给其它的点标上T标号
没有边时
);
第二步,在所有的T标号中取最小者,设结点
的T标号
最小,则将
的T标号改为P标号,并计算具有T标号的其它各个结点的T标号:
新的
第三步,若终点已具有P标号,则此标号,即为所求最短路径的权,算法终止;
否则转到第二步。
2、Warshall算法:
第一步,令
第二步,从
出发,依次构造
阶矩阵
各
个的定义为:
是从
中间结点仅属于
的通路中权最小的通路之权。
最后得到的
的元素
就是是从
的最短路径的权。
1、对右图给出的附权图G,求出结点
到其余个节点的最短路径
3
9
注:
例如对
,新的
的临时T标号改为5。
在5的右下方记上
,表明是因为结点
的标号成为固定标号P而引起
的T标号的改变。
最后回溯,由第7列
找到
,再由第6列
,再由第4列
,再由第5列
,…,得到最短路径
2、对右图所示的有向图,用Warshall算法求任意两结点之间的最短路径的权。