第2章 逻辑函数课堂用080913.docx
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第2章逻辑函数课堂用080913
第二章逻辑函数及逻辑门
2-1基本逻辑函数及运算定律
布尔代数与普通代数的不同之处，就是其变量只取逻辑1和0两值。
若用它来表示事物，则可对应于事件的真和假，成功和失败等。
如用它来描述电路的工作状态，则可对应于电平的高（H）和低（L）。
2-1-1三种基本逻辑函数
最基本的逻辑函数（关系）有与、或及非三种，以两变量（Xl，X2）为例，可以写成
与（AND）Y=X1∧X2=X1·X2＝X1X2
或（OR）Y=Xl∨X2=X1+X2
非（NOT）
多变量函数：
Y＝Xl+X2+…+Xn
所谓与逻辑，就是欲使某件事成功，必须全部条件齐备，缺一不可；
所谓或逻辑，就是可使某件事成功的诸条件中，有一即可，多也无妨；
所谓非逻辑，就是表示某因素不出现，事件成立，若出现，反而不成。
2-1-2逻辑函数的运算定律及规则
一、公理
二、逻辑代数的运算定律
●逻辑代数特有定律，（2-3b）、（2-4a）、（2-4b）、（2-5a）、（2-5b）、（2-6a）、（2-6b）、（2-8a）、（2-8b）、（2-10b）
●无2X及X2等的表示式，绝不会出现减“一”号。
例2-1试简化函数
解
例2-2试简化函数
解
不论是对逻辑函数进行简化或证明，都意味着用较少的逻辑器件完成同样的功能。
在逻辑代数的运算过程中，还可以利用下列几个规则（代人、对偶、反演及展开），以达到化简函数的目的。
三、几个基本规则
（1）代人规则：
指在一个逻辑等式中，如将其中某个变量X，都代之以另一个逻辑函数，则该等式依然成立。
这是因为，不论是逻辑变量或函数，都只有0和l两种取值的可能，所以用函数代变量，并不改变原等式的逻辑特性。
这样，就可将上述基本逻辑定律（等式）中的变量，用另一函数代人，从而可以扩大定律的使用范围。
例2-4试在摩根律式（2-8a），中，以X2X3代替X2。
解：
以X2X3代X2后
式（2-8a）成为
这表明摩根律可以推广到更多个变量。
即：
（2）对偶规则：
对于一个逻辑函数Y，如将其中的与换成或，或换成与，0换成1，1换成0，而原变量及反变量本身保持不变，经这样置换后的新函数Y*，便是原函数Y的对偶函数。
其实Y和Y*是互为对偶函数的。
逻辑函数的对偶性是普通代数所没有的，利用逻辑函数的对偶特性，就可扩大上述定律的应用范围。
应该注意的是，在一个逻辑函数表达式中，其运算顺序通常是先与后或的，除非另加括号，在求对偶式时，这个顺序仍应遵守。
例2-5写出下列函数的对偶表达式：
解：
上式表示，若有多个变量的与及或后再取非的话，这个非号可以不动，照样求对偶式。
也可以用摩根律将其变换后再求对偶式，结果是一样的。
（3）反演规则：
如将某逻辑函数Y中的与和或对换，0和1对换，原变量和反变量也同时对换，这样对换后的新函数，便是原函数的反函数。
注意：
运算的先后顺序不可搞错。
反演规则其实就是摩根律的推广。
例26试求下列函数的反函数
解：
按反演规则，可直接写出反函数：
若用摩根律，则先对原函数两边取非，
得：
经整理得：
（4）展开规则：
对于一个多变量函数Y=f（X1，X2，…，Xk），可以将其中任意一个变量，例如X1分离出来，并展开成
上式的正确性不难验证，只要令Xl＝0或1分别代入便知。
2-2逻辑函数的真值表（truthtable）
2-2-l基本逻辑函数的真值表
真值表是逻辑函数的又一种基本表示方法，它是将函数输入变量的各种组合情况，及其相应的输出（函数值）一一对应地列成的表。
表2-2就是上节所述与、或及非三种基本逻辑函数的真值表。
2-2-2逻辑函数的最小项和最大项
一、最小项
对于一个n个变量的集合，全体输入变量相乘的乘积项，称为最小项，常用mi来表示。
这是因为在乘积项中，任一变量为0，mi就为0，故称为最小项。
最小项的特性：
（1）对于任一最小项，只有一组输入变量的取值能使其为1。
例如，m5，只有在ABC=101时，其值才为1；而对其他取值，均为0
（2）任意两个最小项的乘积恒等于0。
因为变量的任一组取值，不可能使两个最小项同时为1，所以其乘积恒为0，即mimj=0。
（3）全部最小项之和恒等于1。
即∑mi=1。
二、最大项
全体输入变量相加的和项，称为最大项，常用Mi来表示。
这是因为在和项中，任一变量为1，Mi就为1，故称为最大项。
最大项的特性：
由于最大项是对应最小项的反演，故可知：
·最大项应是只有一组输入变量的取值能使其为0；
·任意两个最大项之和恒等于1；
·全部最大项之积则恒等于0
2-2-3真值表的建立
将已知函数用真值表来表示，可以清楚地看出该函数所含有的最小项或最大项
例2-8试列出函数
的真值表，并指出它含有哪几项最大项?
解如表2-4所示，
这是一个三变量函数，真值表应有23=8行
例2-9试用真值表证明
解列二变量真值表如表2-5所示。
表2-6例2-10真值表
A
B
C
Y
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
例2-10试建立三人表决逻辑真值表。
解设投票人为A、B及C，输入变量
①投赞成票时为1，
投反对票时为0；
②表决输出逻辑变量用Y表示
③Y为l意味着获得多数赞成而通过
④Y为0表示不通过
列出真值表如表2-6所示
该函数含有四个最小项：
即m3、m5、m6、及m7
这就是提案获得多数通过的四种情况
表2-7例2-11真值表
A
B
C
Y
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
例2-11某客厅有三扇门，每扇门口均装有客厅公共照明灯的控制开关，即从任一扇门出入，均可独立接通或断开公共照明灯的供电，试列出该厅公共照明灯控制逻辑的真值表。
解：
设公共照明灯为Y，
Y为1表示灯亮，为0则灯灭；
设开关为A、B及C，
都是单刀双掷开关。
（接0或1）
设开关的起始状态为全0状态，灯是灭的
Y=m1+m2+m4+m7
2-2-4从真值表归纳逻辑函数
从已有的真值表，写出相应的逻辑函数，是逻辑设计或分析中必不可少的一步。
通常，从真值表直接写出的逻辑函数有两种标准形式，即最小项之和，或最大项之积。
（1）最小项之和表达式
表2-6例2-10真值表
A
B
C
Y
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
最小项之和表达式是一种积之和表达式，它是将真值表内输出为1的各行输入，以最小项形式相加而成的。
如：
例2-10
Y=BC+AB+AB
也可化简为
（2）最大项之积表达式
最大项之积表达式也是一种和之积（POS）表达式，它是将真值表内输出为0的各行输人，以最大项形式相乘而成的。
仍以例2-10的表2-6来说明，这种表决逻辑可写成
Y＝（A+B）（A+C）（B+C）
可化简为：
从真值表归纳函数，不论采用最小项之和，或是最大项之积的形式，其结果是等效的。
实践中，究竟用哪种表达式最为合适，这要看真值表的输出列中0和1孰多孰少而定，如1少，则用最小项之和来得简单；如0少，则用最大项之积为好。
至于简化到哪一步，最终化成何种形式，还要根据任务的要求，或实际条件而定。
2-2-5未完全描述函数的真值表及表达式
上面所讨论的函数，真值表中各行的输出都是明确的，非0即1，可称之为完全描述的逻辑函数。
除此之外，还有一些函数，其真值表中有些行的输出是确定了的，但还有些行的输出是未加规定的，这就称为未完全描述函数。
对这些未加规定的行，通常称它们为无关项或任意项。
这是因为这些项的输入组合，可能永远不会出现，或是即使出现了，使函数输出为0或1是无所谓的，并不影响命题的实质。
所以，可将它们的相应输出任意作0或作1，视需要或方便而定。
Y=ΠM（1,2,7）ΠD（3,6）
表2-8例2-12真值表
A
B
C
Y
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
ф
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
ф
1
1
1
0
例2-12试写出表2-8所示真值表的逻辑函数。
解表中有两行是任意项，如作l看待，
函数的最小项之和表达式为
Y=Σm（0,4,5）+Σd（3,6）
如将任意项作0看待，
则函数的最大项之积表达式为
Y＝ПM（1，2，7）ΠD（3，6）
上面两式中都考虑到了任意项，结果是不同。
在许多情况下，适当利用任意项，有利于函数的化简，从而使实现的电路也得到简化。
2-3逻辑函数的卡诺图
卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。
2-3-l卡诺图的构成
卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方格，每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。
小格中所填的逻辑值，即为对应输出函数值。
小格的编号就是输入变量按二进制权重的排序。
和真值表不同的是，坐标的划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的，因而便于函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并，能一目了然达到化简的目的。
B
A
0
1
B
A
0
1
0
m0
m1
0
00
01
1
m2
m3
1
10
11
二变量
卡诺图
BC
A
00
01
11
10
0
m0
m1
m3
m2
1
m4
m5
m7
m6
三变量
卡诺图
四变量卡诺图
例2-13试画出函数Y＝f（A，B，C，D）的卡诺图。
Y＝∑m（0，1，2，8，11，13，14，15）+∑d（7，10）
解按题中最小项及任意项的序号，分别在四变量卡诺图的对应小格内，填1或-，其余空格则填0，如图2-3所示。
由函数表达式填卡诺图
例2-14试画出的卡诺图。
解本题函数是四变量的积之和表达式，在填卡诺图之前，可先将它配项成最小项之和表达式
Y=∑m（2，5，8，10，12，14，15）
同理，若已给函数是最大项之积表达式，则可按最大项序号在卡诺图对应格内填0，其余空格则填1。
若已给函数是和之积表达式，则可将函数配项成最大项之积形式，再按上述原则画卡诺图。
如果已知函数是既有积之和项，又有和之积项的混合形式，视方便可将它化成单一的积之和，或者是和之积形式，再进一步化成标准形式后，便可画成卡诺图。
例2-15试画出函数Y的卡诺图。
Y＝ПM（1，2，7）ΠD（3，6）
解作三变量的卡诺图，如图2-5所示
五变量
CDE
AB
000
001
011
010
110
111
101
100
卡诺图
00
0
1
3
2
6
7
5
4
01
8
9
11
10
14
15
13
12
11
24
25
27
26
30
31
29
28
10
16
17
19
18
22
23
21
20
六变量卡诺图
CDE
AB
000
001
011
010
110
111
101
100
000
001
011
010
110
111
101
100
利用卡诺图可以很方便地简化逻辑函数，这是由于卡诺图的坐标是按循环码排列的，所以相邻两小格的输入变量中，总有一个，也只有一个变量发生变化。
所以，若某相邻两格均填1，则可把这两格圈在一起，相当于两个最小项相加，按照互补律，便可消去或吸收掉一个变量，形成一个新的与项，这就是利用卡诺图的相邻特性进行化简的基本原理。
这种化简可以圈1，也可以圈0来实现；不但圈两格，也可圈四、八及十六格地进行，只要是上下、左右都相邻的就行。
2-3-2用卡诺图化简函数
一、卡诺图化简原理
（1）圈1法（最小项之和）
●规则
●表达式
例2-17试用卡诺图化简函数Y＝f（A，B，C）＝∑m（0，2，4，7）。
解先画出该函数的卡诺图
圈0法：
最大项之积
（2）任意项的利用如不作任何规定，对卡诺图中的任意项既可视作1，也可视作0的，在化简过程中，视需要是可以加以利用的。
例2-18试写出图2-3所示函数的两种简化表达式
解：
（3）多输出函数的化简———整体最简
F1＝∑m（3，4，5，7）
F2＝∑m（2，3，4，5，7）
F3＝∑m（0，1，3，6，7）
BC
A
00
01
11
10
00
01
11
10
00
01
11
10
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
2-3-3卡诺图的运算
与、或、非、异或、同或
2-3-4降维卡诺图
为什么要降维
（1）降维卡诺图的建立
方法1：
代数法
方法2：
作图法
（2）降维卡诺图的化简方法
例2-23试求出图2-18所示降维卡诺图函数P的与或表达式。
解由图2-18可得五个圈，故函数为
2-4逻辑门
能实现基本逻辑操作的电路，又称为逻辑门，因而就有相应的与门、或门及非门等名称。
一些功能复杂的逻辑电路，往往是由许多基本逻辑门组合而成。
在设计或分析这类复杂功能的逻辑电路时，除了可用上述逻辑代数的定律和规则，以及真值表和卡诺图等工具运算外，还需采用一套标准的图形符号，以便详细说明逻辑门或其他逻辑单元之间是如何物理连接的，信号是以何种形式或标准传送的，以及设备与外界是如何接口的，等等。
这样，才能标准化地实现数字逻辑装置的设计、生产、操作、测试及联网运行等。
2-4-1逻辑单元符号的组成
实际逻辑功能
门电路的几种表示方法
例2-19的逻辑电路图
2-4-2复合逻辑门
与非（NAND）
或非（NOR）
异或（EXOR）
ExclusiveOR
异或非（EXNOR）
ExclusiveNOR
4-3-2-2输入与或非门
74LS64
例2-25试用与非门实现式（2-23）的多输出函数
2-5逻辑函数的其它表示方法
2-5-1用开关网络表示逻辑函数
A＝0，B＝x，C＝x
A＝1，B，C不同时为0
2-5-2文氏图
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