新疆哈密地区第二中学年高二下学期期末考试数学理试题文档格式.docx
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丙:
丁会证明。
丁:
根据以上条件,可以判定会证明此题的人是()
A.甲B.乙C.丙D.丁
8、某程序框图如图所示,运行该程序时,输出的S值是( )
A.44B.70C.102D.140
9、已知双曲线的右顶点为
,过右焦点的直线与
的一条渐近线平行,交另一条渐近线于点
10、已知正三棱柱
的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于
11、已知函数
,则()
A.当
,有极大值为B.当
,有极小值为
C.当
,有极大值为0D.当
,有极小值为0
12、如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,则
·
等于( )
B.
C.2D.3
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13、已知随机变量
,随机变量
.
14、函数
的值域是.
15、已知等差数列
的前
项和
,满足
,则数列
16、若经过抛物线
焦点的直线
与圆
相切,则直线
的斜率为.
二、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分)
17、已知
的内角
的对边分别为
.
(1)若
,求
;
(2)若
18、2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示,天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况,某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况,得到如下数据统计表,已知网购金额在2000元以上(不含2000元)的频率为0.4.
)先求出
的值,再将如图4所示的频率分布直方图绘制完整;
)对这100名网购者进一步调查显示:
购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人,购物金额在2000元以下(含2000元)的购物者中网龄不足3年的有20人,请填写下面的列联表,并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关?
参考数据:
参考公式:
,其中
.
19、如图,已知四棱锥
的底面为菱形,
(Ⅰ)线段AB上是否存在点M,使AB
平面PCM?
并给出证明.
(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
20、已知点
,椭圆E:
的离心率为
,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为
,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点A的直线
与椭圆E相交于P,Q两点,当
的面积最大时,求直线
的方程.
21、已知函数f(x)=mex﹣lnx﹣1.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)当m≥1时,证明:
f(x)>1.
选做题:
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题记分.
22、在直角坐标系
中,已知曲线
为参数),在以
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
,曲线
(1)求曲线
与
的交点
的直角坐标;
(2)设点
分别为曲线
上的动点,求
的最小值.
23、已知
(1)判断
的大小;
,求证:
中至少有一个的值小于2.
参考答案
一、单项选择
1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】A4、【答案】A5、【答案】D
6、【答案】C
【解析】∵从5名学生中选出4名分别参加A,B,C,D四科竞赛,其中甲不能参加A,B两科竞赛,
∴可分为以下几步:
(1)先从5人中选出4人,分为两种情况:
有甲参加和无甲参加.
有甲参加时,选法有:
=4种;
无甲参加时,选法有:
=1种.
(2)安排科目
有甲参加时,先排甲,再排其它人.排法有:
=12种.
无甲参加时,排法有
=24种.
综上,4×
12+1×
24=72.
∴不同的参赛方案种数为72
7、【答案】A
【解析】若丙说了真话,则甲必是假话,矛盾;
若丁说了真话,则甲说的是假话,甲就是会证明的那个人,符合题意;
以此类推。
易得出答案:
A.
8、【答案】C
【解析】解:
模拟执行程序框图,可得
K=1,S=0
S=2,K=4
不满足条件S>100,S=10,K=7
不满足条件S>100,S=24,K=10
不满足条件S>100,S=44,K=13
不满足条件S>100,S=70,K=16
不满足条件S>100,S=102,K=19
满足条件S>100,退出循环,输出S的值为102.
故选:
C.
9、【答案】A
【解析】由双曲线
,可得
故
,渐近线方程为
不妨设
的方程为
代入方程
解得
.故选B.
10、【答案】C
【解析】过
作
,连接
,由于
,故
平面
,所以所求直线与平面所成的角为
,设棱长为
11、【答案】D
【解析】依题意,原函数类似于二次函数,有唯一零点
,相当于两个相等的实数根,此时函数图像类似二次函数图像,开口向上,且
,故当
时,函数有极小值为
12、【答案】B
【解析】
=
-
)=
因为OA=OB,所以
在
上的投影为
|
|,
所以
|·
|=2,
同理
|=
故
-2=
二、填空题
13、【答案】
14、【答案】
15、【答案】
【解析】设等差数列
的首项和公差分别为
、
,根据题意建立方程组
,解之得
,数列
的通项公式
16、【答案】
【解析】抛物线的焦点为
,设直线
的方程为,
,即
直线
相切,
,解得
,故答案为
三、解答题
17、【答案】
(1)
(2)
(1)由已知
结合正弦定理得:
,于是
或
(舍).因为
,所以,
(2)由题意及余弦定理可知
由
(1)
得
即
,联立解得
.所以,
18、【答案】
)因为网购金额在2000元以上(不含2000元)的频率为0.4,所以网购金额在
的频率为
,且
从而
,相应的频率分布直方图如图3所示:
)相应的
列联表为:
由公式
因为
所以据此列联表判断,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关.
19、【答案】试题解析:
(Ⅰ)当m是AB的中点时,AB⊥平面PCM
∵AP=PB∴AB⊥PM又△ACB中,AB=BC,∠ABC=60°
∴△ABC是正三角形∴AB⊥CM
又PM∩CM=M∴AB⊥平面PCM
(Ⅱ)(Ⅱ)由
,易求得
∴
以
为坐标原点,以
分别为轴,轴,轴建立空间直坐标系
设平面
的一个法向量为
,∴
∵二面角
为钝角,∴二面角
的余弦值为
20、【答案】解:
(2)由题可知,直线
的斜率存在,故设
:
将
代人
中整理得
当
时,
点O到直线PQ的距离
,所以
的面积
设
,当且仅当
时等号成立,且满足
.所以,当
的面积最大时,
21、【答案】
(1)解:
当m=1时,f(x)=ex﹣lnx﹣1,所以
.…
所以f
(1)=e﹣1,f'
(1)=e﹣1.…所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y﹣(e﹣1)=(e﹣1)(x﹣1).即y=(e﹣1)x.…
(2)证法一:
当m≥1时,f(x)=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1.
要证明f(x)>1,只需证明ex﹣lnx﹣2>0.…
以下给出三种思路证明ex﹣lnx﹣2>0.
思路1:
设g(x)=ex﹣lnx﹣2,则
所以函数h(x)=
在(0,+∞)上单调递增.…
,g'
(1)=e﹣1>0,
所以函数
在(0,+∞)上有唯一零点x0,且
因为g'
(x0)=0时,所以
,即lnx0=﹣x0.…
当x∈(0,x0)时,g'
(x)<0;
当x∈(x0,+∞)时,g'
(x)>0.
所以当x=x0时,g(x)取得最小值g(x0).…
综上可知,当m≥1时,f(x)>1.…
思路2:
先证明ex≥x+1(x∈R).…
设h(x)=ex﹣x﹣1,则h'
(x)=ex﹣1.
因为当x<0时,h'
(x)<0,当x>0时,h'
(x)>0,
所以当x<0时,函数h(x)单调递减,当x>0时,函数h(x)单调递增.
所以h(x)≥h(0)=0.
所以ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号).…
所以要证明ex﹣lnx﹣2>0,
只需证明(x+1)﹣lnx﹣2>0.…
下面证明x﹣lnx﹣1≥0.
设p(x)=x﹣lnx﹣1,则
当0<x<1时,p'
(x)<0,当x>1时,p'
所以当0<x<1时,函数p(x)单调递减,当x>1时,函数p(x)单调递增.
所以p(x)≥p
(1)=0.
所以x﹣lnx﹣1≥0(当且仅当x=1时取等号).…
由于取等号的条件不同,
所以ex﹣lnx﹣2>0.
(若考生先放缩lnx,或ex、lnx同时放缩,请参考此思路给分!
)
思路3:
先证明ex﹣lnx>2.
因为曲线y=ex与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称,
设直线x=t(t>0)与曲线y