用极坐标处理二次曲线问题Word文件下载.docx
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当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线
1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2）若乩
1-esin廿
当Ovev1时，方程表示极点在下焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向上的抛物线
1时！
方程表示极点在上焦点的双曲线
ep
1+esin
当Ovev1时，方程表示极点在上焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向下的抛物线
方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编
（1）二次曲线基本量之间的互求
310
—X一
2
解法一:
53
$二
I10
_a「c二
33
K[252152I
V882
31I2I
-方程表示椭圆的离心率e=-,焦距一，长轴长一，短轴长I
I44
解法二：
根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需
令二=0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。
根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。
下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。
（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦MNg过焦点F,
2、双曲线中，（注释：
双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
AB两点，求丨AB|
所以A（：
1,-）,BC%^3）
又由AB=|一務|
5580
7
2-3cos§
2-3cos（i§
）
求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
点睛由于椭圆，抛物线的弦的两个端点极径均为正值，所以弦长都是P1+^2对于两个端点都在双曲线右支上的弦，其端点极径均为正值，所以弦长也是对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,
其端点极径一个为正值一个为负值，所以弦长是--1^2或
为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用|PJP2
变式练习：
等轴双曲线长轴为2过其右有焦点’引倾斜角为-的直
线，交双曲线于A,B两点，求AB
求|AB|
解：
—
小兀小兀
AOf,Bg,）
ABH：
-2|
1
66
=|122,
|.|
1-2cos）1-\2cos（）2…：
62--6
附寸录直角坐标系中的焦半径公式
设P（x,y）是圆锥曲线上的点，
1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1-aex,PF?
二a-ex;
2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，
当点P在双曲线右支上时，PH=ex+a，PF2|=ex_a;
当点P在双曲线左支上时，PR=-a-ex，PF2=a-ex;
3、若F是抛物线的焦点，PF=x+E.
利用弦长求面积
22
高考题（08年海南卷）过椭圆=1的焦点F作一条斜率为2的
54
直线与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，求AOB的面积.
简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式|AB|簣卩2求弦长，然后
1-ecos廿
利用公式Sao^2|AB||OF|snAFO直接得出答案。
变式（2005年全国高考理科）已知点F为椭圆乡•y2=1的左焦点.过点
F的直线li与椭圆交于P、Q两点，过F且与h垂直的直线12交椭圆于
M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.
解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:
设直线li的倾斜角，则直线12的倾斜角为二900，由极坐标系中
焦点弦长公式知:
s冷PQL|MN|-
用他们来表示四边形的面积
1-sinM_cos21—sin22二
24216
即求丄的最大值与最小值
1丄sin2R
216
由三角知识易知：
当sin—1时，面积取得最小值詈；
当…0时,
面积取得最大值2
例一.过椭圆a2b2
利用弦长公式解决常量问题=1（ab0）
的左焦点F,作倾斜角为60的直线I
交椭圆于AB两点，若FA=2FB，求椭圆的离心率
简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为P=—°
P口则|FA=——空一,FB|=竺——0
1一ecos廿1—ecos601-ecos240
±
L=2，解得e二
e.e3
11
变式求过椭圆宀丁的左焦点，且倾斜角为-的弦长AB和左焦点到左准线的距离。
先将方程：
—化为标准形式:
则离心率「3，»
|，
p=2
所以左焦点到左准线的距为
设A（；
-1,-）,B（；
?
2,5^），代入极坐标方程，则弦长
2丄2_24
5二一17
3—cos3-'
Cos—
44
AB=耳+P2
（3）定值问题
y2=2px（p0）的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段,
证明：
11定值。
ab
以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的
例1.抛物线
极坐标方程为—，设A（a,"
B（b,「二）
i-cosy
将A,B两点代入极坐标方程，得a=盘“占p
则1rj-coi/-COST二）=Z（定值）abppp
点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。
推论：
若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,则有—'
12
MF
+NF
例二：
经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD求证一+一-为定\AB\|CD|
值。
以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为e^，
1-ecose
又设A匚K,B「二+二+v,D\^■4,3-+^则代入可得
112-e2
=一
ABCD2ep注释。
此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。
注意使用的范围。
推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。
需要以原点为极点建立极坐标方程。
推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。
例三（2007重庆理改编）中心在原点0的椭圆36土=1，点F是其左焦
点，在椭圆上任取三个不同点RRR使
/P1FP2=ZF2FP3=ZP3FP1=120°
.
角函数的学习中，我们知道cos「cos「1200）cos^-12O0）=O，因此
二2为定值
111++FP,|FP2〔FP3
点睛：
极坐标分别表示|FP,|、|FP2|与IFP3|，这样一个角度对应一个
极径.就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时
对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点.
推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？
推广2设PRPsli厲是椭圆上的n个点，且FP1,FP2,FP3〔i（fPn圆周角等分
n4
则厶也为定值
i=1OPi
作业
（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆的焦点F1作倾斜角
为60°
的直线和椭圆相交于A,B两点，|AF12|BF1|.
（1）求椭圆的离心率e;
（2）若|AB|=®
，求椭圆方程
4
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