用极坐标处理二次曲线问题Word文件下载.docx

1、当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若 乩1-es in 廿当Ov ev 1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 1时！方程表示极点在上焦点的双曲线ep1+es in当Ov ev 1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求3 10X一2解法一:5 3$ 二I 10_ac 二33K 25 2 15 2 IV 8 8 23 1I 2I-方程表示椭圆的离心率e=-,焦距一，长轴长一，短轴长II 4 4解法二：根据极坐标的定义，对右顶点

2、对应点的极角为 0，因此只需令二=0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶 点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。 下面的弦长问 题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MNg过焦点F,2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。A B两点，求丨AB |所以 A（：1,-）,BC% 3）又由AB =| 一 務|5 5 8072-3cos 2-3cos（i ）求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于

3、椭圆，抛物线的弦的两个端点极径均为正值，所以弦长都 是P1 +2对于两个端点都在双曲线右支上的弦，其端点极径均为正 值，所以弦长也是对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值，所以弦长是-1 2或为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用|PJP2变式练习：等轴双曲线长轴为2过其右有焦点引倾斜角为-的直线，交双曲线于A,B两点，求AB求 | AB |解：小 兀 小 兀AOf,Bg,）AB H ：-2 |16 6=| 12 2 ,| . |1 -2 cos ） 1 - 2 cos（ ） 2 ：6 2 - - 6附寸录直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上

4、的点，1、 若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1 - a ex, PF?二a-ex;2、 若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时， PH =ex + a， PF2|=ex_a ;当点P在双曲线左支上时，PR =-a-ex， PF2 =a-ex;3、若F是抛物线的焦点，PF =x+E.利用弦长求面积2 2高考题（08年海南卷）过椭圆=1的焦点F作一条斜率为2的5 4直线与椭圆交于A, B两点，O为坐标原点，求 AOB的面积.简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式|AB| 簣卩2求弦长，然后1 - e cos 廿利用公式Sao2| AB|OF |sn AFO直接得出答案。

5、变式（2005年全国高考理科）已知点F为椭圆乡 y2=1的左焦点.过点F的直线li与椭圆交于P、Q两点，过F且与h垂直的直线12交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:设直线li的倾斜角，则直线12的倾斜角为二900，由极坐标系中焦点弦长公式知:s 冷 PQ L| MN | -用他们来表示四边形的面积1- sinM_cos2 1 sin2 2二24 2 16即求 丄 的最大值与最小值1丄 sin2 R216由三角知识易知：当sin1时，面积取得最小值詈；当0时,面积取得最大值2例一.过椭圆a2 b2利用弦长公式解决常量问题

6、 =1 （a b 0）的左焦点F,作倾斜角为60的直线I交椭圆于A B两点，若FA =2FB，求椭圆的离心率简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为 P= P 口则| FA =空一 ,FB| = 竺01 一 ecos 廿 1ecos60 1 - ecos 240L=2 ，解得 e 二,e . e 31 1变式求过椭圆 宀丁的左焦点，且倾斜角为-的弦长AB和左焦 点到左准线的距离。先将方程：化为标准形式:则离心率3，|，p =2所以左焦点到左准线的距为设A（ ；-1,-）,B（；?2,5），代入极坐标方程，则弦长2 丄 2 _ 245二 一173cos 3-C

7、os4 4AB =耳 + P2（3）定值问题y2=2px（p 0）的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段,证明：1 1定值。a b以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的例1.抛物线极坐标方程为 ，设A（a, B（b,二）i - cosy将A,B两点代入极坐标方程，得a=盘“占p则 1 rj-coi / -COST 二）=Z （定值） a b p p p点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,则有1 2MF+ NF例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB和弦CD求证 一 + 一-为定 AB |CD|值。以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标

8、方程为 e，1 - ecose又设A匚K ,B二+二+ v ,D 4,3- + 则代入可得1 1 2-e2 =一AB CD 2ep 注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦， 倒数和也为定值。需要以原点为 极点建立极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。例三（2007重庆理改编）中心在原点0的椭圆36 土 =1，点F是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点 RRR使/ P1FP2 =Z F2FP3 =Z P3FP1 =120 .角函数的学习中，我们知道coscos1200） cos -12O0）=O，因此二2为定值1 1 1 + + FP, |FP2 FP3点睛：极坐标分别表示|FP,|、|FP2|与IFP3 |，这样一个角度对应一个极径.就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点.推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？推广2设PRPsli厲是椭圆上的n个点，且FP1,FP2,FP3i（ fPn圆周角等分n 4则 厶也为定值i=1 OPi作业（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆 的焦点F1作倾斜角为60的直线和椭圆相交于 A, B两点，| AF1 2 | BF1 | .（1）求椭圆的离心率e ;（2）若|AB|=，求椭圆方程4