小学奥数几何难题.docx
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小学奥数几何难题
小学奥数几何难题
类型一：
旋转、对称类
（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）
在厶ABC中，ABAC9cm，BAC120.点P在边BC上使得CP6cm，点Q在边AC上使得CPQAPB•请求出三角形BPQ的面积.
【考点】图形对称
【答案】13.5cm2
【分析】方法一：
过A点作AOBC交BC于点0,作P、Q关于AO的对称点P'、Q',
连接P'Q'、AP'、P'Q，如下图所示：
APBQPC,ABPQCP△CQPbap，又AD、QE分别
BPad
是厶ABP、△QCP的高，于是有：
一一，即BPQECPAD.而又CPQE
SabpqbpQE2CPAD264.5213.5.
【总结】本题没有边之间的比例，只有角度相等，因此尝试做对称来构造出平行线，
解决问题.
的面积.
如下图所示，将△BPQ以P点为中心，逆时针旋转90，至△OPS位置，同
样的将△CQR以R点为中心，顺时针旋转90，至△OSR位置.因为BQCQ,
PSORSOPQBRQC90，所以两个阴影三角形恰好构成完整的
四边形
spor.
连接
AO，因为
OPS
APS
BPQ
APS90,
所以
△APO
为直
角三
角形，
同理
△aro也
是
直
角三
角形
.有
SaPSR
Sabpq
S^cqr
SAPSR
SaopsSaors
Sapor
Saapo
Saaro
1
1
75
2143
7
6
92
30,
因
此SAABC
30
2
2
143
5
S2143681362722
S正方形pqrs而V27.2cm
【总结】正方形中的旋转问题.
E、F，使得
DB1cm时，求
△ABC的面积.
【考点】勾股定理
类型二：
勾股、弦图类
（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）
△ABC是直角三角形.在边AB、BC、CA上分别取点D、
ADAFFCEC•当△DEF成为等腰直角三角形、BE3cm、
完全相同（
DEFE,
【答案】24
【分析】作FGBC交BC于点G，易知△DBE和△EGF
DEBFEG90,/•DEBEFG,又：
△DEB◎△EFG.）
•••有EGDB1cm,
FG
EB
3cm，又.
••FG//AB,
•••G也是BC中点，即
CG
BG
4cm,•
CECFAF
此有abcBCAB
28
6
2
224cm.
F是AC的中点，
AD5cm.因
【总结】本题其实是弦图的应用:
图中即构成了一个标准的弦图•其实很多时候出现等腰直角三角形就可以考虑构造弦图来解决问题.
如图，P是正方形ABCD外面的一点，PB12厘米，△APB的面积是90平方厘米,
△CPB的面积是48平方厘米.请问：
正方形ABCD的面积是多少平方厘米？
【考点】勾股与弦图
【答案】289平方厘米
【分析】将BP反向延长如下图所示构造弦图,
以BP为底，△PAB的高是AF,于是有：
pabPBAF212AF290，即卩AF15厘米，同理有CG8厘
米.因此S正方形abcd15282=289平方厘米.
【总结】本题构造弦图是关键点！
（2011年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛武汉卷）
如图，点P在直角△ABC内，且BABC,PB10厘米，△ABC的面积是60平方厘
米，△BPC的面积是30平方厘米，求△ABC的面积.
【考点】勾股与弦图
【答案】90平方厘米
【分析】如下图所示构造弦图:
以BP为底，△ABP的高为AF，有：
SaabpBPAF210AF260，
即AF12厘米，同理有CG6厘米，因此S正方形abcd12262180平方厘米，所以Saabc180290平方厘米.
【总结】本题和上一题本质相同，不过是点P的位置发生了改变.
（2011年日本算术奥林匹克大赛高小决赛）
下图是一个面积为18cm2、CD7cm的四边形ABCD.其两条对角线BD和AC在四
边形ABCD的内部相交，当BD10cm,ACBC,BCA90时，求△ACD的面积.
【考点】勾股定理
【答案】7.5平方厘米
【分析】作DEBC，交BC延长线于点E，设ACBCa,CEb,DEc.
2
49,c+
合平方差公式得：
a22ab51①
【总结】本题貌似上两题类似，实则不然•上面两题告诉我们的是两个小三角形的面积，而此题是整个的面积•因为题中出现两个长度，不好构造弦图，因而转化为做垂线利用勾股定理解决问题.
自厶ABC内部一点P向AB、BC、CA作垂线，垂足依次为F、D、E，以AF、FB、
BD、DC、CE、EA为边长分别向外作正方形，如下图所示，这六个正方形的面积依
次记为S、S2、S3、S4、S5、So.如果SoS52，S41，那么试求SS2的
值.
【考点】勾股定理
【答案】3
【分析】连接AP、BP、CP，其长度分别记为a、b、c,另记AFm,BFn,BDp，
CDq,CEr,AEs，如下图所示:
•••S6S52
，即s2
2
r2，又•••
22as
PE2,
2c
r2PE2
，两式相减得
222acs
r22
.同理
有
2.2
cb
2
q
p21
因而
2
22
222
2
.2
SiSm
na
bac
c
b2
1
3.
【总结】正方形面积很容易和平方结合起来，而垂线则要想到勾股定理.
类型三：
等积变化类
如下图，大正方形被分成了面积相等的五块，若
AB长为3.6厘米，则大正方形的面积
为多少平方厘米?
【考点】
等积变化模型
【答案】
1134平方厘米
【分析】
连接CG、AH、AD，过点G作MN
DE
交ED于点M，
交FC于点N.如
那么每一块的面积都是
设正方形边长为
，即有GM
AF
2
-a，所以
5
GNAC-a
5
SachgSabhg
△BCH
GH:
HD
Sachg:
SaCDH
Sagda
SaCDG
-32
Saacd—a
5
Saahg
Saadg
1132
a
2110
Saacg二a
5
a
5
所以
Sachg
22a
5
112
1
2
a:
—
a
11:
10
50
5
3
32
a
a
a
5
10
112
a
所
70
有
1
2
92a50
11
21
19
a
250
SAABH
Saahg
2112
a
70
32
a
11
a
50
3.6,
3212339
AB:
BCSabh:
Sabcha:
a3:
14，也即ABaa
70551785
即a34，所以正方形面积为a23421156平方厘米.
【总结】如何从五块面积都相等这个条件中提取出更多的信息是解决本题的关键•一般来说等积变化都是用于解决线段比例和面积比例相互转化问题，通常看到线段间的比例、等分点、面积相同的若干块等都可以考虑用到等积变化模型.
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