小学奥数几何难题.docx

1、小学奥数几何难题小学奥数几何难题类型一：旋转、对称类（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）在厶ABC中，AB AC 9cm， BAC 120 .点P在边BC上使得CP 6cm，点Q在 边AC上使得 CPQ APB 请求出三角形 BPQ的面积.【考点】图形对称【答案】13.5 cm2【分析】方法一：过A点作AO BC交BC于点0 ,作P、Q关于AO的对称点P、Q,连接PQ、AP、PQ，如下图所示：APB QPC , ABP QCP CQP bap，又 AD、QE 分别BP ad是厶ABP、QCP的高，于是有： 一 一，即BP QE CP AD .而又 CP QESa bpq bp QE 2

2、CP AD 2 6 4.5 2 13.5 .【总结】 本题没有边之间的比例，只有角度相等，因此尝试做对称来构造出平行线，解决问题.的面积.如下图所示，将 BPQ以P点为中心，逆时针旋转 90，至 OPS位置，同样的将 CQR以R点为中心，顺时针旋转90，至 OSR位置.因为BQ CQ ,PSO RSO PQB RQC 90，所以两个阴影三角形恰好构成完整的四边形spor .连接AO，因为OPSAPSBPQAPS 90 ,所以 APO为直角三角形，同理 aro 也是直角三角形.有SaPSRSa bpqS cqrSAPSRSa ops Sa orsSaporSa apoSa aro11752 14

3、3769 230 ,因此 SA ABC30221435S 2 143 68 136 272 2S正方形 pqrs 而 V 27.2 cm【总结】正方形中的旋转问题.E、F，使得DB 1cm时，求ABC的面积.【考点】勾股定理类型二：勾股、弦图类（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）ABC是直角三角形.在边AB、BC、CA上分别取点D、AD AF FC EC 当 DEF成为等腰直角三角形、 BE 3cm、完全相同（DE FE ,【答案】24【分析】作FG BC交BC于点G，易知 DBE和 EGFDEB FEG 90 , / DEB EFG ,又： DEB EFG .）有 EG DB 1 cm

4、 ,FGEB3 cm，又. FG / AB , G也是BC中点，即CGBG4 cm , CE CF AF此有 abc BC AB2 8622 24 cm .F是AC的中点，AD 5 cm .因【总结】本题其实是弦图的应用:图中即构成了一个标准的弦图其实很多时候出现等腰直角三角形就可以考 虑构造弦图来解决问题.如图，P是正方形 ABCD外面的一点， PB 12厘米， APB的面积是90平方厘米, CPB的面积是48平方厘米.请问：正方形 ABCD的面积是多少平方厘米？【考点】勾股与弦图【答案】289平方厘米【分析】 将BP反向延长如下图所示构造弦图,以 BP 为底， PAB 的高是 AF , 于

5、是有：pab PB AF 2 12 AF 2 90，即卩 AF 15 厘米，同理有 CG 8 厘米.因此S正方形abcd 152 82 =289平方厘米.【总结】本题构造弦图是关键点！（2011年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛武汉卷）如图，点P在直角 ABC内，且BA BC , PB 10厘米， ABC的面积是60平方厘米， BPC的面积是30平方厘米，求 ABC的面积.【考点】勾股与弦图【答案】90平方厘米【分析】如下图所示构造弦图:以 BP为底， ABP 的高为 AF，有：Sa abp BP AF 2 10 AF 2 60，即AF 12厘米，同理有CG 6厘米，因此S正方形abcd 122

6、62 1 80平方厘米， 所以Sa abc 180 2 90平方厘米.【总结】本题和上一题本质相同，不过是点 P的位置发生了改变.（2011年日本算术奥林匹克大赛高小决赛）下图是一个面积为18 cm2、CD 7 cm的四边形ABCD .其两条对角线 BD和AC在四边形ABCD的内部相交，当 BD 10 cm , AC BC , BCA 90时，求 ACD的面 积.【考点】勾股定理【答案】7.5平方厘米【分析】 作DE BC，交BC延长线于点E，设AC BC a , CE b , DE c .249 , c +合平方差公式得：a2 2ab 51 【总结】 本题貌似上两题类似，实则不然上面两题告诉

7、我们的是两个小三角形的面 积，而此题是整个的面积因为题中出现两个长度，不好构造弦图，因而转 化为做垂线利用勾股定理解决问题.自厶ABC内部一点P向AB、BC、CA作垂线，垂足依次为F、D、E，以AF、FB、BD、DC、CE、EA为边长分别向外作正方形，如下图所示，这六个正方形的面积依次记为 S、S2、S3、S4、S5、So .如果 So S5 2，S4 1，那么试求 S S2 的值.【考点】勾股定理【答案】3【分析】 连接AP、BP、CP，其长度分别记为a、b、c ,另记AF m , BF n , BD p，CD q , CE r , AE s，如下图所示: S6 S5 2，即s22r 2，又

8、2 2 a sPE2 ,2 cr2 PE2，两式相减得2 2 2 a c sr2 2. 同理有2 .2c b2qp2 1, 因而22 2,2 2 22.2Si S mn ab a ccb 213.【总结】正方形面积很容易和平方结合起来，而垂线则要想到勾股定理.类型三：等积变化类如下图，大正方形被分成了面积相等的五块，若AB长为3.6厘米，则大正方形的面积为多少平方厘米?【考点】等积变化模型【答案】1134平方厘米【分析】连接CG、AH、AD，过点G作MNDE交ED于点M，交FC于点N .如那么每一块的面积都是设正方形边长为，即有GMAF2-a，所以5GN AC -a5Sachg Sabhg B

9、CHGH : HDSa chg :Sa CDHSa gdaSaCDG- 3 2Sa acd a5Sa ahgSa adg11 3 2a21 10Sa acg 二 a5a5所以Sachg2 2 a511 212a :a11:1050533 2aaa51011 2a所70有129 2 a 50112119a250SA ABHSa ahg2 11 2a703 2a11a503.6 ,3 2 1 2 3 3 9AB:BC Sabh : Sabch a : a 3:14，也即 AB a a70 5 5 17 85即a 34，所以正方形面积为 a2 342 1156平方厘米.【总结】如何从五块面积都相等这个条件中提取出更多的信息是解决本题的关键一 般来说等积变化都是用于解决线段比例和面积比例相互转化问题，通常看到 线段间的比例、等分点、面积相同的若干块等都可以考虑用到等积变化模型.