二次函数中三角形面积倍数关系压轴综合题专题汇编docWord下载.docx
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.••点E坐标为（-4,5）
（3）设点P（0,y）
①当mVO时，如图所示，易证△POB〜3PG,得OB_OP~PG~~FG
••—
y+41
/.m=y2+4y=（y+2）2-4V-4<
y<
②当m>
0时，如图所示,
易证△POB〜/\FPG,得
且m^O.FG
OB_0P
~PG~~FG
.m-y
•.—_
-y2-4y=-（y+2）2+4
V-4<
.•*0<
/77<
4
综上所述，m的取值范围是：
-4<
m<
4,
24.（湖北武汉）已知点4（—1,1）>
8（4,6）在抛物线y=ax2+bxJt⑴求抛物线的解析式
⑵如图1,点F的坐标为（0,m）（m>
2）,直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线，垂足为设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH、AE,求证：
FH//AE
⑶如图2,直线48分别交x轴、y轴于C、。
两点.点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒扼个单位长度；
同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度.点M是直线PQ与抛物线的一个
交点，当运动到t秒时，QM=2PM,直接写出t的值
15±
7113
6
13土面
2
（3）进行分类讨论即可得解.
试题解析：
（1）・.•点A（-1,1）,B（4,6）在抛物线y=a：
c+bx±
。
1,16a+4b=6
解得：
b=~
..・抛物线的解析式为：
设直线AF的解析式为y=kx+m
・.・A（—1,1）在宜线AF上，
—k+m=1
即：
k=m—1
..•直线A尸的解析式可化为：
y=（m—\）x^m
X2-^X
22
与y~\^~联立'
得（m—1）x+m=乙乙乙
/.（%+1）（%—2/77）=0
/.尤=—1或2m
..•点G的横坐标为2m
考点：
二次函数综合题.
24.如图，抛物线y=-x2+bx+c与工轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点。
，交尤轴于点E,已知OB=OC=6.
⑴求抛物线的解析式及点D的坐标；
⑵连接BD,F为抛物线上一动点，当ZFAB=ZEDB^\,求点尸的坐标;
⑶平行于工轴的直线交抛物线于M,N两点，以线段为对角线作菱形MPNQ,
当点P在工轴上，且=时，求菱形对角线MN的长.
【考点】HF：
【分析】
（1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式,进一步可求得D点坐标；
（2）过F作FG^x轴于点G,可设出F点坐标，利用△FAG^ABDE,由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n,从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长.
【解答】解：
（1）V0B=0C=6,
AB（6,0）,C（0,-6）,
（
yX62+6b+c=0
..・抛物线解析式为蓦x2-2x-6,
Vy=-^x2-2x-6=-^-（x-2）2-8,
「•点D的坐标为（2,・8）；
（2）如图1,过F作FGLx轴于点G,
图1
[1i
设F（x,—x2-2x-6）,则FG=|—x2-2x-6|,
在y=^-x2-2x-6中，令y=0可得-S-x2-2x-6=0,解得x=-2或x=6,
AA（-2,0）,
AOA=2,则AG=x+2,
VB（6,0）,D（2,-8）,
ABE=6-2=4,DE=8,
当匕FAB二匕EDB时，且ZFGA=ZBED,
AAFAG^ABDE,
・FGAGp|]|yx2-2x-6|
•<
BE~DE，—~~———"
8"
2，
-~~x+2I
当点F在x轴上方时，则有2*-裁6专,解得x=-2（舍去）或x二7,此进F
x+2_
点坐标为（7,荡）；
当点F在x轴上方时，则有万*-2x-6=_\解得x=_2（舍去）或后5,此进
7
F点坐标为（5,
一9
综上可知F点的坐标为（7,或（5,
（3）・.•点P在x轴上,
..・由菱形的对称性可知P（2,0），
如图2,当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点,
T
图2
.\MT=2PT,
设PT=n,则MT=2n,
AM（2+2n,n）,
VM在抛物线上，
/.n=-^"
（2+2n）2-2（2+2n）-6,解得n=】'
65,或‘二】
zqq
AMN=2MT=4n=V65-l;
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n,则M（2+2n,-n）,
・・・-n二号（2+2n）2-2（2+2n）-6,解得n=T*"
或n二士料（舍去），.•.MN=2MT=4n=V65-1;
综上可知菱形对角线MN的长为/切+1或屐-1.
24.（湖北鄂州）己知，抛物线），=履+*+3（tz<
0）与工轴交于A（3,0）、
B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴是直线x=l,D为抛物线的顶点,
点E在y轴。
点的上方，且CE=~.
（1）求抛物线的解析式及顶点。
的坐标；
（2）求证：
直线。
E是△AC。
外接圆的切线；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S软p=SSmc。
，求点P的坐标;
（4）在坐标轴上找一点使以点8、C、M为顶点的三角形与相似,直接写出点M的坐标.
E
B
【考点】二次函数，相似，圆
【解析】
（1）利用对称性求出点B的坐标为（-1,0）,再求抛物线的解析式
及顶点D的坐标
（2）求证和〃为直角三角形，就知道直线DE是△ACD外接圆的切线
（3）找出⑦的中点坐标N,再过点N作NP〃AC,就能找到P点
（4）多次利用相似寻找点M
【解答】
（1）..•抛物线的对称轴是直线x=-~二1,点A（3,0）
根据抛物线的对称性知点B的坐标为（-1,0）将（3,0）（-1,0）带入抛物线解析式中得
解得
a--\
b=2
y=—x+2x+3
当二1时，y=4
・.・顶点D（1,4）.
（2）当x=0时,y=3
..•点。
的坐标为（0,3）
'
：
A（3,0），D（1,4）
CD=7（l-O）2+（4-3）2=V2
AD=7（1-3）2+（4-O）2=2^5
CA=J（3_0）2+（0—3）2=3很
・•・CA2+CD2=AD2
:
./\ACD为直角三角形，2血加90°
.
・..也为△招9外接圆的直径
•.•点万在轴。
点的上方，旦。
二匕
.E（0,-）
VJ（3,0）,D（1,4）
£
>
=J（l-0）2+（4-|）2=^
V乙匕
「・AD=7（1-3）2+（4-0）2=2V5
EA=」（「0）2+（0—3）2=咎
.IDE2+A"
=AE2
4AED为直角三角形，匕应族二90°
・•・ADLDE
乂・.・AD为SCD外接圆的直径
.••班'
是MO外接圆的切线
（此问中用相似证ZADE=90°
亦可）
（3）
A（3,0）,D（1,4）,。
（0,3）
.•・直线I。
的解析式y=-x+3
17
取⑦的中点坐标N,则/V（-,-）
过点N作NP〃AC,交抛物线于点*,设直线NP表达式为y=-x+b
把A「（—,—）带入y=-x+b得b=4
22
..・直线NP表达式为y=-x+4
24（湖北宜昌）.己知抛物线y=ax2+bx+c,其中2a=b>
0>
c,且a+b+c=O.
（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=O的一个根；
（2）证明：
抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；
（3）直线y=x+m与x,y轴分别相交于B,C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E.如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得AADF与ABOC相似，并且Szsadf=%、ade，求此时抛物线的表达式.
I
（1）根据a+b+c=O,结合方程确定出方程的一个根即可；
（2）表示出抛物线的对称轴，将2a=b代入，并结合a+b+c=0,表示出c,判断顶点坐标即可；
（3）根据表示出的b与c,求出方程的解确定出抛物线解析式，由直线y=x+m与x,y轴交于B,C两点，表示出0B=OC=|m|,可得出三角形BOC为等腰直角三角形，确定出三角形三角形ADE面积，根据三角形ADF等于三.角形ADE面积的一半求出a的值，即可确定出抛物线解析式.
（1）L•抛物线y=ax2+bx+c,a+b+c=0,
..•关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=l；
V2a=b,
二对称轴x=--—=-1,
把b=2a代入a+b+c=0中得：
c=-3a,
Va>
0,c<
0,
AA=b2-4ac>
.4ac-b'
4a
则顶点A（-1,华芦）在第三象限;
（3）由b=2a，c=-3a,得到x=世导J差奥解得：
X1=-3,x2=l,
二次函数解析式为y=ax2+2ax-3a,
•.•直线y=x+m与x,y轴分别相交于点B,C两点,则OB=OC=|m|,
.•.△BOC是以ZBOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线y=x+im与对称轴x=
-1的夹角ZBAE=45°
.・•点F在对称轴左侧的抛物线上，则ZDAF>
45°
此时AADF与△BOC相似，
顶点A只可能对应△BOC的直角顶点0,即AADF是以A为直角顶点的等腰直角
三角形，且对称轴为x=-1,
设对称轴x=-1与OF交于点G,
..•直线y=x+m过顶点A（-1,-4a）,
m=l-
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