浙江省9+1高中联盟届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案文档格式.docx

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到平面区域

的边界的距离之和最大值是（）

A.1B.

D.2

7.用数字

组成五位数，且数字

至少都出现一次，这样的五位数共有（）个.

A.120B.150C.210D.240

8.已知双曲线

的左右焦点分别为

，过

的直线

交双曲线的右支于

两点.点

满足

，且

.若

，则双曲线

的离心率是（）

C.2D.

9.设函数

，若

的取值范围是（）

10.已知数列

，记数列

前

项和为

，则（）

非选择题部分（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11.直线

过定点（），直线

=（）

12.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.现有阳马

，

底面

，底面

为正方形，且

，则异面直线

与

所成角的大小为（）

13.袋中装有大小相同的2个红球和1个黄球，小明无放回地连续摸取2次，每次从中摸取1个.记摸到红球的个数为

（），

14.若

为奇函数，则

15.已知

且

，数列

的通项满足

（），记

的前

16.已知

，内角

所对的边分别是

的角平分线交

于点

17.已知平面向量

满足:

，当

所成角

最大时，则

三、解答题（本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.（本小题满分14分）已知函数

.

（I）求函数

的最小正周期和单调递增区间;

（II）若

，求函数

的值域.

19.（本小题满分15分）在

中，

分别为

的中点，将

沿着直线

翻折，得到多面体

.若二面角

大小为

为

中点.

（I）求证:

;

（II）求直线

与平面

所成角的正弦值.

20.（本小题满分15分）已知数列

是公差大于0的等差数列，其前

成等比数列.

（I）求数列

的通项公式;

（II）设

，其前

，则是否存在正整数

，使得

成等差数列?

若存在，求出

的值;

若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分15分）已知

是抛物线

的焦点，点

是抛物线上横坐标为2的点，且

（I）求抛物线的方程;

（II）设直线

交抛物线

于

两点，若

，且弦

的中点在圆

上，求实数

的取值范围.

22.（本小题满分15分）已知函数

的最小值;

有三个零点

（i）求

的取值范围;

（ii）求证:

2021学年第一学期9+1高中联盟期中考

高三数学参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

A

D

B

9.解：

，即

为方程

的两个根.

则有

，可得

令

，所以

10.解：

由

可得

化简得

累加求和得

因为

即

所以

二、填空题

11.

；

12.

13.

14.

15.84，

16.4，

17.

16.解：

法一：

已知

，由正弦定理得

又因为

的角平分线，可得面积关系为

记

，则有

又由余弦定理得

又

，此时

法二：

由已知可得

所以点

在以

为焦点的椭圆上（去掉与直线

的两个交点），轨迹方程为

根据

的角平分线，及面积关系

又由椭圆焦点三角形的面积公式可得

，又

此时

17.解：

则

即点

的轨迹是以

为圆心，半径为1的圆.过

两点的圆

与圆

相外切，记切点为

最大（如图）.

下证上述结论：

取圆

上不同于切点

的

点，因为

在圆

的外面，

下面求当

最大时，

的值.

记圆

的半径为

所以只需求出圆

即可.

如右图，

为弦

的中点，

在

中，由余弦定理求得

，

由余弦定理得，

如图建系，

，点

为圆心，1为半径的圆上.

以

为弦长作圆

，当圆

外切时

最大.

圆心

在弦

的中垂线

上，设

或

（舍去），

，得

三、解答题

18.（本题14分）解：

（Ⅰ）最小正周期

单调递增区间为

（Ⅱ）因为

因此，函数

的值域

19.（本题15分）解：

（Ⅰ）由题意知，

为等腰直角三角形，

，且在翻折过程中始终有

，故

即为二面角

的平面角，

于是

为正三角形.

取

的中点

，连接

面

因此

（Ⅱ）法一：

设

，由（Ⅰ）知

为正三角形，且

，于是有面

过点

作

交

平面

为直线

.又因为

因此，

为坐标原点，

所在直线为

轴和

轴，如图所示建立空间直角坐标系.

设平面

的一个法向量为

，取

设直线

所成角为

20.（本题15分）解：

（Ⅰ）设等差数列

的首项为

，公差为

，解得：

∴

假设存在正整数

成等差数列，

，整理得

或25.

当

时，即

时，

（舍）；

符合题意.

因此存在正整数，

成等差数列

21.（本题15分）解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）设直线

的方程为

.将直线

的方程与抛物线的方程联立，

得

，于是

，化简得

①.

设弦

的中点为

，将点

的坐标代入圆的方程，得

由①代入消元，消去

，解得

若当

随

单调递增，故

时，令

.因为

单调递减，故

综上所示，实数

的取值范围为

22.（本题15分）解：

故

单调递减，在

单调递增，

的最小值为

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，

单调递增，不合题意；

和

内分别有唯一的零点记为

上单增，在

上单减，在

上单增.

易知

，1为

的一个零点，

有三个零点，符合题意.

综上，

（ii）不妨记

的三个零点大小为

所以当

成立.

即当

有且只有一个零点

化简

。