合肥工业大学电磁场与电磁波孙玉发版第章标准答案Word下载.docx

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上板和薄片保持电位

，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在

薄片平面上，从

，电位线性变化，

解应用叠加原理，设板间的电位为

其中，

为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为

）的电位，即

是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：

③

根据条件①和②，可设

的通解为

由条件③有

故得到

4.4如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位

，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

的通解应取为

由条件③，有

；

故得到

★【4.5】一长、宽、高分别为

、

的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为

的电荷。

求体积内的电位

解在体积内，电位

满足泊松方程

（1）

长方体表面

上，电位

满足边界条件

由此设电位

的通解为

，代入泊松方程

（1），可得

由此可得

或

（2）

由式

（2），得

故

★【4.6】如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与

轴平行的线电荷

，其位置为

求板间的电位函数。

解由于在

处有一与

，以

为界将场空间分割为

和

两个区域，则这两个区域中的电位

都满足拉普拉斯方程。

而在

的分界面上，可利用

函数将线电荷

表示成电荷面密度

电位的边界条件为

，

，

，

由条件①和②，可设电位函数的通解为

由条件③，有

由式

（1），可得

（3）；

将式

（2）两边同乘以

，并从

积分，有

（4）

由式（3）和（4）解得

故

4.7如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷

求槽内的电位函数。

，电位的边界条件为

，②

由式

（1），可得

（3）

若以

两个区域，则可类似地得到

*4.8如题4.8图所示，在均匀电场

中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为

求导体圆柱外的电位

和电场

以及导体表面的感应电荷密度

解在外电场

作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场

的电位

与感应电荷的电位

的叠加。

由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量

无关。

在圆柱面坐标系中，外电场的电位为

（常数

的值由参考点确定），而感应电荷的电位

应与

一样按

变化，而且在无限远处为0。

由于导体是等位体，所以

由此可设

由条件①，有

于是得到

，故圆柱外的电位为

若选择导体圆柱表面为电位参考点，即

，则

导体圆柱外的电场则为

导体圆柱表面的电荷面密度为

*4.11如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为

、介电常数为

，在距离轴线

处，有一与圆柱平行的线电荷

，计算空间各部分的电位。

解在线电荷

作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位

均为线电荷

与极化电荷的电位

的叠加，即

线电荷

的电位为

而极化电荷的电位

满足拉普拉斯方程，且是

的偶函数。

介质圆柱内外的电位

满足的边界条件为分别为

为有限值；

时，

由条件①和②可知，

将式

（1）～（3）带入条件③，可得到

（5）

当

时，将

展开为级数，有

（6）

带入式（5），得

（7）

由式（4）和（7），有

由此解得

，

故得到圆柱内、外的电位分别为

（8）

（9）

讨论：

利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为

其中

因此可将

分别写成为

由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（

0）的线电荷

的电位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：

位于（

位于

的线电荷

*4.13在均匀外电场

中放入半径为

的导体球，设

（1）导体充电至

（2）导体上充有电荷

试分别计算两种情况下球外的电位分布。

解

（1）这里导体充电至

应理解为未加外电场

时导体球相对于无限远处的电位为

，此时导体球面上的电荷密度

，总电荷

将导体球放入均匀外电场

中后，在

的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷

仍保持不变，导体球仍为等位体。

设

，其中

，是均匀外电场

的电位，

是导体球上的电荷产生的电位。

电位

时，

为常数，若适当选择

的参考点，可使

由条件①，可设

代入条件②，可得到

若使

，可得到

（2）导体上充电荷

时，令

，有

利用

（1）的结果，得到

4.14如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场

，在介质中有一个半径为

的球形空腔。

求空腔内、外的电场

和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为

）。

解在电场

的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场

为外加电场

与极化电荷的电场

设空腔内、外的电位分别为

，则边界条件为

由条件①和②，可设

带入条件③，有

所以

空腔内、外的电场为

空腔表面的极化电荷面密度为

4.17一个半径为

的介质球带有均匀极化强度

（1）证明：

球内的电场是均匀的，等于

（2）证明：

球外的电场与一个位于球心的偶极子

产生的电场相同，

解

（1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。

由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。

建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为

介质球内、外的电位

满足的边界条件为①

因此，可设球内、外电位的通解为

解得

于是得到球内的电位

，故球内的电场为

（2）介质球外的电位为

为介质球的体积

故介质球外的电场为

可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子

产生的电场相同。

4.20一个半径为

的细导线圆环，环与

平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为

，如题4.20图所示。

证明：

空间任意点电位为

解以细导线圆环所在的球面

把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用

函数将细导线圆环上的线电荷

表示成球面

上的电荷面密度

再根据边界条件确定系数。

设球面

内、外的电位分别为

，则边界条件为：

根据条件①和②，可得

（1），

代入条件③，有

将式（4）两端同乘以

进行积分，得

其中

由式（3）和（5），解得

，代入式

（1）和

（2），即得到

★【4.22】如题4.22图所示，一个点电荷

放在

的接地导体角域内的点

处。

求：

（1）所有镜像电荷的位置和大小；

（2）点

处的电位。

解

（1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷

到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于

，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为

处电位