云南大学数学分析习作3分解.docx

云南大学数学分析习作3分解.docx

《云南大学数学分析习作3分解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云南大学数学分析习作3分解.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

云南大学数学分析习作3分解

云南大学

数学分析习作课（3）读书报告

题目：

数项级数

学院：

物理科学技术学院

专业：

数理基础科学

姓名、学号：

任课教师：

时间：

2012年12月27日

摘要

数项级数是数学分析课的重要组成部分，也是整个数学分析课的学习重点；它是表示函数、研究函数以及计算函数的重要工具；本文对数项级数敛散性的判别法做了一个较全面的讨论，主要讨论了正项级数、交错级数和绝对收敛级数．其中正项级数收敛性判别法主要有比较原则、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法、积分判别法和对数判别法等

关键词：

数项级数、敛散性、判别法、性质。

1.数项级数相关概念

1.1　数项级数及定义

定义1　给定一个数列，对它的各项依次用＂＂号连接起来的表达式

（1）

称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为级数

（1）的第项或通项．

数项级数

（1）也常写作：

或简单写作．

数项级数

（1）的前项的和为，即或，称为级数的项部分和．

定义２　若数项级数

（1）的部分和数列收敛于（即），则称数项级数

（1）收敛,称为数项级数

（1）的和,记作或；若是发散数列，则称数项级数

（1）发散．

1.2　数项级数敛散性判别的充要条件

定理（级数收敛的柯西准则）级数（１）收敛的充要条件：

，当时，对有：

．

根据定理，我们立刻可以写出级数

（1）发散的充要条件：

，和有：

．（２）

由定理立即可以得出如下推论，它是级数收敛的一个必要而非充分条件．

推论　若级数

（1）收敛，则．

注：

在实际应用中，我们常常先考虑推论的逆否命题从而来判断该级数是否发散．

2.正项级数

2.1　正项级数及定义

设有数项级数，若数项级数各项的符号都相同，称它为同号级数．其中，若各项均为正数，则称它为正项级数．

2.2　正项级数敛散性的一般判别原则

　　定理1　正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界．

注：

定理1解决了一类级数的收敛问题,不必研究，只需粗略地估计当时是否保持有界就可以了，它是判断正项级数敛散性的最基本方法，几乎所有判别法都是由它导出，但是在具体应用时不大方便．

定理2　设两个正项级数与，，有，是正常数．

1）若级数收敛，则级数也收敛；

2）若级数发散，则级数也发散

推论　设两个正项级数与，且．

1）若级数收敛，且，则级数也收敛；

2）若级数发散，且，则级数也发散．

2.3正项级数的一些判别法：

（1）.比较判别法

设和是两个正项级数,且时有,则

ⅰ><,<;

ⅱ>=,=.（ⅱ>是ⅰ>的逆否命题）

例1 考查级数的敛散性.

解有

例2设.判断级数的敛散性.

推论1（比较原则的极限形式）设和是两个正项级数且,则

1）时,和共敛散;

2）时,<,<;

3）时,=,=.（证）

推论2设和是两个正项级数,若=，特别地，若～,，则<=.

（2）.柯西判别法

设正项级数，存在常数．

1）若,有，则级数收敛；

2）若存在无限个n，有，则级数发散．

推论有正项级数，若，则

1）当时，级数收敛；

2）当时，级数发散．

（3）.达朗贝尔判别法

设正项级数,存在常数．

1）若，有，则级数收敛；

2）若，有，则级数发散．

推论若为正项级数，且，则

1）当时，级数收敛；

2）当时，级数发散．

注由于正项级数的通项的前后两项的比值一般不会直接得出一个常数，所以在判别正项级数的敛散性时常用比式判别法的推论．

例5证明级数收敛．

证　　因为，

．

由比式判别法知收敛，再由比较原则知收敛，即收敛．

3交错级数

3.1　交错级数及定义

定义考虑如下的级数

（其中）（3）

我们称这样的级数为交错级数．

3.2　交错级数收敛性的一般判别原则

交错级数是数学分析重要内容之一，对于交错级数敛散性的判别在许多数学分析教材中给出了莱布尼玆判别法．

定理（莱布尼玆判别法）　对于交错级数（3）若满足两个条件：

（1）数列单调递减；

（2），

则交错级数

（1）收敛．

注莱布尼玆判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件；如果数列不满足单调递减性时不能判定级数（3）式发散．

下面我们将以定理的形式介绍另一种在已知交错级数不绝对收敛的情况下如何判定交错级数敛散性的方法．为了证明定理先看引理．

引理1设交错级数，若：

（1）当时此级数的通项趋于；

（2）通过重新组合已给级数各项，但不改变级数各项原有顺序所得的某一新的级数也收敛；

（3）在和式中相加项的数目是有限的．

则级数收敛

定理2若交错级数（3）满足（a）；（b）发散．则

１）若收敛，则级数

（1）也收敛.

２）若发散，则级数

（1）也发散．

例判别级数的敛散性．

解因为，

故级数条件收敛．

3.3.阿贝尔判别法

定理1设级数，若为单调有界数列，且级数收敛，则级数收敛．

狄利克雷判别法

定理2设级数，若单调递减，且，又级数的部分和数列有界，则级数收敛

4补充

数项级数敛散性的基本性质

（1）、收敛，发散；发散发散；

（2）、对正项级数，有界收敛；无界发散；

（3）、对正项级数，收敛与都收敛

（4）、收敛绝对收敛，发散，但收敛条件收敛；

（5）、与（绝对）收敛（绝对）收敛；

绝对收敛，条件收敛条件收敛；

与条件收敛收敛，但绝对收敛、条件收敛性未定；

收敛，发散发散；与发散敛散未定；

（6）、两正项级数与同敛散

特殊数项级数的敛散性

（1）、对几何级数，；发散；

（2）、对级数，收敛；发散；

（3）、对，绝对收敛；条件收敛；

（4）、对，收敛；发散；

（5）、对，（绝对）收敛；；发散；

（6）、对，（绝对）收敛；发散；

数项级数敛散性的基本判定思路

（1）、若发散；若用比（根）值审敛法考察的敛散性；

（2）、若（绝对）收敛；若发散；若，用比较审敛法考察；

（3）、若发散，用莱布尼兹审敛法、的界性、数项级数的分解性质考察。

致谢

在完成此论文以及在此前的过程中，要非常感谢葛老师教导和帮助，感谢老师孜孜不倦的教导和督促我完成学习任务，在学期将结束之际，我能顺利完成此论文和获得相关知识离不开老师的支持，再次感谢！

！

此外，在编写此论文过程当中还是暴露出许多的不足，以及存在一些问题，希望老师给予纠正和评析。

参考文献

高教版数学分析、华东师范大学数学系.数学分析（下册）、范新华.关于交错级数敛散性判别法的一些探讨、微积分学习与考试指导.中国人民大学出版社。

参考文献

[1]数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005.

[2]论如何加强数学人才在求职中的优势，杨汉春，张庆，高等理科教育，No.4（2003）：

22－26.