数列求和中常见放缩方法和技巧含答案汇编Word格式文档下载.docx

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证明：

因为

则

，证毕。

例5.已知

且

，求证：

对所有正整数n都成立。

，所以

又

所以

，综合知结论成立。

例6、求证：

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

例6.已知函数

，证明：

对于

都有

由题意知：

又因为

，所以只须证

例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：

由于a、b、c为正数，所以

，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则

为真分数，则

，同理

故

.

综合得

4、证明：

∴

5、求证：

∵

6、若

一、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的

分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；

如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；

假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩．

1、若a，b，c，d是正数．求证：

2、求证：

3、求证：

【练习】求证：

二、放缩法常见技巧式：

（数列求和中常见放缩方法和技巧--放缩后能求和如放缩后是等比或可裂项求和）

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例1、已知

求证：

若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。

本题在放缩时就舍去了

，从而是使和式得到化简.

例2、函数f（x）=

f

（1）+f

（2）+…+f（n）>

n+

由f（n）=

=1-

得f

（1）+f

（2）+…+f（n）>

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。

如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；

如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

例3、已知an=n，求证：

＜3．

=

＜1＋

＜１＋

=1＋

（

－

）

=1＋1＋

＜2＋

本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.

三.单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10.已知a，b∈R，求证

构造函数

，首先判断其单调性，设

，因为

在

上是增函数，取

，显然满足

即

证毕。

二、函数放缩

例8.求证：

解析:

先构造函数有

从而

cause

例10.求证:

提示:

函数构造形式:

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数

首先:

从而,

取

有,

所以有

…,

相加后可以得到:

另一方面

从而有

所以综上有

例13.证明:

解析:

求导,可以得到:

令

有

所以

所以

例3（武汉市模拟）定义数列如下：

（1）对于

恒有

成立。

（2）当

，有

（3）

分析：

（1）用数学归纳法易证。

（2）由

得：

……

以上各式两边分别相乘得：

，又

（3）要证不等式

可先设法求和：

，再进行适当的放缩。

原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。

数列不等式证明中的一些放缩技巧

1.放缩为裂项求和

例1.设数列

的前n项的和

（1）求首项

与通项

；

（2）设

解：

所以，

2.放缩为等比求和

例2.已知数列{

}满足

（1）求数列{

}的通项公式；

（2）证明：

;

（2）先证不等式的右边：

再证不等式的左边：

（先将通项放缩，从某一项开始放缩后，和式转化为等比数列求和）

例3.设数列{

（1）当

时，求

并由此猜想出

的一个通项公式；

（2）当

时，证明对所有的

（ⅰ）

（ⅱ）

（ⅱ）由（ⅰ）

下面考虑对1+

进行缩小

（无穷递缩等比数列，其部分项和

）

3.奇偶相邻问题捆绑求和放缩

例4.已知数列{

}的前n项和

满足

（1）写出数列{

}的前3项

（2）求数列{

（3）证明：

对任意的整数m>

4,有

（3）由

（2）不等式左边=

分母-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

，因此，可将

保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和.这里需要对m进行分类讨论：

当

且n为奇数时，

，于是

（1）当m>

4且m为偶数时

（2）当m>

4且m为奇数时

由

（1）知：

总之，数列和不等式的证明，关键是把和求出来，若不能直接求和，就要先把通项放缩，再求和，求和后再放缩，证得结果.

练习：

1.已知数列{

}，

记

时，

（2）

（1）数学归纳法，

（2）逐差累加，（3）左边放大为等比数列再求和.