高数教案数列极限Word文件下载.docx

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事实上，

，给

很小,要

只须n>

1000即可,也即在这个数列中,从第1001项开始,以后各项都有

又给：

则从第10001项开始,以后各项都有

，一般,任给ε>

0,不论多么小,要使

，只须

，因此,从第

项开始,以后各项都有

，因ε是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.

定义:

设{xn}是一个数列,a是一个常数,若∀ε>

0,∃正整数N,使得当n>

N时,都有|xn-a|<

ε,则称a是数列{xn}当n无限增大时的极限,或称{xn}收敛于a,记作：

这时,也称{xn}的极限存在,否则,称{xn}的极限不存在,或称{xn}是发散的.

比如,对于刚才的数列1.有

，

注1.定义中的ε是预先给定的,任意小的正数,其任意性保证了xn可无限接近于a,另外,ε又是确定的,它不是变量.

注2.一般说来,N随给定的ε变化而变化,给不同的ε确定的N也不同,另外,对同一个ε来说,N不是唯一的（若存在一个N,则N+1,N+2,…,均可作为定义中的N.）

注3.定义中“当n>

N时,有|xn-a|<

ε”的意思是说,从第N+1项开始,以后各项都有|xn-a|<

ε,至于以前的项是否满足此式不必考虑.可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关.而与前面的有限多项无关.改变,去掉数列的前有限项,不改变数列收敛或发散的性质.

几何意义:

由于|xn-a|<

ε⇔a-ε<

xn<

a+ε⇔xn∈（a-ε,a+ε）=U（a,ε）.因此,所谓xn以a为极限,就是对任何以a为心,以任意小的正数ε为半径的ε邻域,总能找到一个N,从第N+1项开始,以后各项都落在邻域U（a,ε）内,而只有有限项落在U（a,ε）外部.看图.

例1.若xn=c（常数）,则

证明：

∀ε>

0.由于|xn–1|=|c–c|=0，取N=1,当n>

N时,有|xn–c|=0<

ε，故

即常数的极限就是常数本身.

例2.设q是满足|q|<

1的常数,证明

证：

若q=0,结论显然成立.

设0<

|q|<

1.现在,xn=qn,a=0.

0.（要证∃N,当n>

N时,有|qn-0|<

ε）

因|xn-a|=|qn-0|=|qn|=|q|n,要使|xn-a|<

ε,只须|q|n<

ε即可.即nln|q|<

lnε,

取正整数

则当n>

N时,有

从而有|qn-0|<

ε

练习.证明：

证:

∀ε>

0（要证∃N,当n>

N时,有

要使

则，当n>

练习：

0,由于

要使|xn-a|<

ε,

N时,有：

数列极限性质：

定理1.若数列收敛,则其极限唯一.

反设xn收敛,但极限不唯一,即,xn→a,且xn→b,（n→∞）,a≠b.

设b<

a,取

数列的有界性.

没有数列xn=f（n）,若∃M>

0,使得|xn|≤M,n=1,2,….则称数列xn有界,

由于|xn|≤M-⇔M≤xn≤M⇔xn∈[-M,M].故,所谓xn有界,就是xn要全部落在某个对称区间[-M,M]内.如图

例1.xn=（-1）n有界,而xn=n2无界.

定理2.若{xn}收敛,则{xn}有界.

如图

定理2的逆命题不成立,如xn=（-1）n有界,但由定义和几何意义知（-1）n是发散的.如图

定理3.

推论1.（保号性定理）若

而a>

0（a<

0）.则∃正整数N,当n>

N时,有xn>

0（xn<

0）

推论2.

反设a<

b,由定理3,∃正整数N1,当n>

N1时,有xn<

yn.取N2=max{N,N1},则当n>

N2（≥N）时,有xn<

yn.此与条件矛盾.

推论3:

设有数列{xn},若∃正整数N,当n>

N时,有xn≥0（xn≤0）.且

，则：

a≥0（a≤0）.

注:

在推论3中,即使xn>

0,也只能推出a≥0,

比如,

定理4.（夹逼定理）.设数列{xn},{yn},{zn}满足∃正整数N,当n>

N时,有xn≤yn≤zn

（1）

0,∃N1,当n>

N1时,有|xn-a|<

ε.即a-ε<

xn<

a+ε

（2）

∃N2,当n>

N2时,有a-ε<

zn<

a+ε…（3）

取N*=max{N,N1,N2},则当n>

N*时,

（1）,

（2）,（3）同时成立.有：

a-ε<

xn≤yn≤zn≤a+ε

即|yn-a|<

ε.

特别,若在夹逼定理中,xn和zn中有一个为常数列,并满足定理条件.定理当然成立

夹逼定理的意义有:

（1）给出判断数列yn存在极限的方法;

（2）给出了求yn的极限的方法.这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.

求

解：

子列：

所谓数列{xn}子列，就是从数列x1,x2,…,xn,…中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右排成一个新的数列，这个数列称为{xn}的子列.

比如，x2,x5,x14,…,x78,…就是{xn}的一个子列，

上列中n1=2,n2=5,n3=14等.

注：

（3）对任何两个正整数h,k,若h≥k,则有nh≥nk.

反之，若nh≥nk,则h≥k.这是因子列次序与原数列次序相同.

在子列中位置靠后的项，在原数列中位置也靠后，反之也对.

定理5.

充分性.

由于{xn}可看作它自已的一个子列.由条件{xn}的任何子列

都以a为极限，故

由定理5，若{xn}的两个子列一个收敛于a,而另一个收敛于b，且a≠b,则{xn}发散；

或者，{xn}中有一个子列发散，则{xn}发散.

0,1,0,1,……发散.

1,0,-1,0,1,0,-1,0,……发散.

推论.

收敛准则：

若数列{xn}满足x1≤x2≤…≤xn≤…,则称{xn}为单调递增数列.若x1≥x2≥…≥xn≥…,则称{xn}为单调递减数列.单调递增和单调递减数列统称为单调数列.

例4.xn=n2是单调递增数列,但xn是发散的.

xn=（-1）n是有界数列,但xn=（-1）n也是发散的.

定理6.单调递增且有上界的数列必有极限;

单调递减且有下界的数列必有极限.即：

单调有界数列必有极限.

例5.数列

是单调递增且有上界的数列.

首先注意到,当a>

b>

0时,

定理：

（柯西收敛准则）数列{xn}收敛的充要条件是∀ε>

0,∃N>

0,当n,m>

N时，有

|xn-xm|<

ε.

略

例6.利用柯西收敛原理证明xn=1+q+q2+……+qn（|q|<

1）收敛.

0，设m>

n，|xm-xn|

作业：

教学总结：