高数教案数列极限Word文件下载.docx

1、 事实上，给很小, 要只须n1000 即可, 也即在这个数列中,从第1001项开始,以后各项都有 又给：则从第10001项开始,以后各项都有，一般, 任给 0, 不论多么小, 要使， 只须，因此, 从第项开始, 以后各项都有，因是任意的, 这就说明了当n越来越大时, xn会越来越接近于1.定义: 设xn是一个数列, a是一个常数, 若 0, 正整数N, 使得当nN时, 都有|xn-a|N时, 有| xn-a |”的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xn-a |,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉

2、数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质.几何意义: 由于| xn-a | a- xn0. 由于|xn1|=|c c|= 0，取N=1, 当nN时, 有|xnc |=0，故即常数的极限就是常数本身.例2. 设q是满足 |q |1的常数, 证明证： 若 q = 0 , 结论显然成立. 设 0 |q |N时, 有 |qn -0| ）因 | xn - a | = |qn -0| = |qn | = |q | n , 要使| xn - a | , 只须 |q | n 即可. 即 n ln |q | N 时, 有从而有| qn - 0 | 0（要证N, 当nN时, 有要使则，当n练习：0, 由于要使

3、 | xn - a | , N 时, 有：数列极限性质：定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一.反设xn收敛, 但极限不唯一, 即, xna, 且xn b, （n）, ab. 设b0, 使得|xn|M, n=1, 2, . 则称数列xn有界, 由于 |xn|M-MxnM xn-M, M. 故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个对称区间-M, M内. 如图例1. xn=（-1）n有界, 而xn=n2无界.定理2. 若xn收敛, 则xn有界.如图定理2的逆命题不成立, 如xn=（-1）n有界, 但由定义和几何意义知（-1）n是发散的.如图定理3. 推论1. （保号性定理） 若, 而a0 （aN

4、时, 有xn0 （xn0）推论2. 反设 a N1时, 有xn N2 （ N）时, 有 xnN时, 有 xn0 （xn0）. 且，则：a0 （a0）. 注: 在推论3中, 即使xn0, 也只能推出a0,比如, 定理4. （夹逼定理）. 设数列xn, yn, zn满足正整数N, 当 n N 时, 有xn yn zn（1） 0 , N1, 当n N1时, 有 |xn -a| . 即 a - xn N2时, 有 a - zn N * 时, （1）, （2）, （3）同时成立.有：a - xn yn zn a + 即 | yn - a | b0时,定理： （柯西收敛准则） 数列xn收敛的充要条件是 0, N 0, 当n, mN 时，有| xn-xm | .略例6. 利用柯西收敛原理证明 xn=1+q+q2+qn （ | q | n，| xm-xn |作 业：教学总结：