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突破

相关

参考

资料

《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社

《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社

过

程

教学思路、主要环节、主要内容

我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。

设曲边梯形是有连续曲线y=f（x）、x轴与直线x=a、x=b所围成。

现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？

我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f（x）在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。

因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。

显然：

把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。

为此我们产生了定积分的概念。

定积分的概念：

设函数f（x）在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<

x1<

...<

xn-1<

xn=b把区间[a,b]分成n个小区间[x0，x1]，...[xn-1,xn], 

在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi（xi-1≤ξi≤xi）,作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi并作出和

，如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I， 

这时我们称这个极限I为函数f（x）在区间[a,b]上的定积分，记作

。

即：

定理

（1）：

设f（x）在区间[a,b]上连续，则f（x）在区间[a,b]上可积。

（2）：

设f（x）在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a,b]上可积。

如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分

的几何意义为：

它是介于x轴、函数f（x）的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和。

定积分的性质

性质

（1）：

函数的和（差）得定积分等于它们的定积分的和（差）.

性质

（2）：

被积函数的常数因子可以提到积分号外面.

性质（3）：

如果在区间[a,b]上，f（x）≤g（x），则

≤

（a<

b）

性质（4）：

设M及m分别是函数f（x）在区间[a,b]上的最大值及最小值，则m（b-a）≤

≤M（b-a）

性质（5）：

如果f（x）在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立：

=f（ξ）（b-a）

注：

此性质就是定积分中值定理。

2微积分的基本公式

掌握微积分的基本公式

利用微积分的基本公式求定积分

变上限的积分求导公式

《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，

积分上限的函数及其导数

设函数f（x）在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f（x）在部分区间[a,x]上的定积分

我们知道f（x）在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。

如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ（x）:

注意：

为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关）

如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数

在[a,b]上具有导数，并且它的导数是

（a≤x≤b）

定理

（2）：

如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则函数

就是f（x）在[a,b]上的一个原函数。

定理

（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。

牛顿－莱步尼兹公式

定理　如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间[a,b]上的一个原函数，则

　。

（1）

证　已知函数F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

，也是f（x）的一个原函数。

于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即

（2），在上式中令x=a，得

又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此，C=F（a）。

以F（a）代入

（2）式中的C，以

代入

（2）式中的，可得

，在上式中令x=b，就得到所要证明的公式

（1）。

由积分性质知，

（1）式对a>

b的情形同样成立。

为方便起见，以后把F（b）–F（a）记成

注意：

公式

（1）被称为牛顿-莱布尼兹（Leibniz）公式，它进一步揭示了定积分与原函数（不定积分）之间的联系。

它表明：

一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。

它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

3定积分的换元法和分部积分法

掌握定积分的换元法及定积分的分部积分法

定积分的换元法及定积分的分部积分法

定积分的换元法

我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。

因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。

定理：

设函数f（x）在区间[a,b]上连续；

函数g（t）在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；

当t在区间[m,n]上变化时，x=g（t）的值在[a,b]上变化，且g（m）=a,g（n）=b；

则有定积分的换元公式:

在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。

定积分的换元法与分部积分法。

例题:

计算

解答:

设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；

当x=a时，t=π/2.于是：

定积分的分部积分法

计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。

设u（x）、v（x）在区间[a,b]上具有连续导数u'

（x）、v'

（x），则有（uv）'

=u'

v+uv'

分别求此等式两端在[a,b]上的定积分，并移向得：

上式即为定积分的分部积分公式。

解答：

设

，且当x=0时，t=0；

当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：

再用分部积分公式计算上式的右端的积分。

设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是：

故：

反常积分

掌握广义积分的概念

广义积分的计算

定积分的近似计算：

定积分近似计算公式的原理：

求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。

原理：

实质上是用抛物线逼近曲线段，由此可推出

此公式称为辛卜生公式。

近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近（见数值分析）。

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。

为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。

无穷限的广义积分

定义1　设函数f（x）在区间[a,+]上连续，取b>

a，若极限

存在，则称此极限为函数f（x）在无穷区间[a,+]上的广义积分，记作

，即　

（1），这时也称广义积分

收敛；

若上述极限不存在，称为广义积分

发散。

类似地，若极限

存在，则称广义积分

收敛。

设函数f（x）在区间（-,+）上连续，如果广义积分

和

都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f（x）在无穷区间（-,+）上的广义积分，记作

，也称广义积分

否则就称广义积分

上述广义积分统称为无穷限的广义积分。

无界函数的广义积分

现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

定义2　设函数f（x）在（a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取

，如果极限

存在，则称此极限为函数f（x）在（a,b]上的广义积分，仍然记作

，这时也称广义积分

类似地，设函数f（x）在[a,b]上除点c（a<

c<

b）外连续，而在点c的领域内无界，如果两个广义积分

与

都收敛，则定义

；

（2）

否则，就称广义积分

习题

解决第五章的习题中存在的问题。

定积分的计算，变上限的积分求导公式，广义积分的计算。

补充一些习题及历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔思路。

《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社

处理第五章习题中的各种问题，并补充历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔学生的解题思路。

分类讲解习题，提供解题方法及思路。