三年高考理真题分类 与数列相关的综合问题Word文件下载.docx

三年高考理真题分类 与数列相关的综合问题Word文件下载.docx

《三年高考理真题分类 与数列相关的综合问题Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考理真题分类 与数列相关的综合问题Word文件下载.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

选择题

2018年高考全景展示

1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析:

先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.

详解：

令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；

若公比，则但，即，不合题意；

因此，，选B.

点睛：

构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．

【答案】27

【解析】分析：

先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.

本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.

3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.

（I）求和的通项公式；

（II）设数列的前n项和为，

（i）求；

（ii）证明.

【答案】

（Ⅰ），；

（Ⅱ）（i）.（ii）证明见解析.

（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则.

（ii）因为，裂项求和可得.

（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为

（II）（i）由（I），有，故.

（ii）因为，

所以.

本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．【2018年江苏卷】设，对1，2，·

·

，n的一个排列，如果当s<

t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：

对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记为1，2，·

，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．

（1）求的值；

（2）求的表达式（用n表示）．

（1）252）n≥5时，

（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为2的个数，再利用枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为2的个数；

（2）先寻求含n个元素的集合中逆序数为2与含n+1个元素的集合中逆序数为2的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果.

解：

（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．

探求数列通项公式的方法有观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法.

5．【2018年江苏卷】设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．

（1）设，若对均成立，求d的取值范围；

（2）若，证明：

存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．

（1）d的取值范围为．

（2）d的取值范围为，证明见解析。

（1）根据题意结合并分别令n=1，2，3，4列出不等式组，即可解得公差d的取值范围；

（2）先根据绝对值定义将不等式转化为，根据条件易得左边不等式恒成立，再利用数列单调性确定右边单调递增，转化为最小值问题，即得公差d的取值范围.

（1）由条件知：

．因为对n=1，2，3，4均成立，

即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．

因此，d的取值范围为．

（2）由条件知：

．若存在d，使得（n=2，3，·

，m+1）成立，即，即当时，d满足．因为，则，从而，，对均成立．因此，取d=0时，对均成立．

下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．

①当时，，

当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为．

②设，当x>

0时，，所以单调递减，

从而<

f（0）=1．当时，，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．因此，d的取值范围为．

对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

2017年高考全景展示

1.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴

趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列1，

1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来

的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：

N>

100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么

该款软件的激活码是

A．440B．330C．220D．110

【答案】A

【解析】试题分析：

由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为

要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，

所以，则，此时，

对应满足的最小条件为，故选A.

【考点】等差数列、等比数列的求和.

【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.

2.【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>

0”是“S4+S6>

2S5”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

试题分析：

由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C．

【考点】等差数列、充分必要性

【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知，结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件．

3.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1,1），P2（x2,2）…Pn+1（xn+1,n+1）得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.

（I）（II）

（I）依题意布列和公比的方程组.

（II）利用梯形的面积公式，记梯形的面积为.

求得，

应用错位相减法计算得到

试题解析：

（I）设数列的公比为，由已知.

由题意得，所以，

因为,所以，

因此数列的通项公式为

（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,

由（I）得

记梯形的面积为.

由题意，

所以

……+

=……+

又……+

-得

=

【考点】1.等比数列的通项公式；

2.等比数列的求和；

3.“错位相减法”.

【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.

4.【2017北京，理20】设和是两个等差数列，记，

其中表示这个数中最大的数．

（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；

（Ⅱ）证明：

或者对任意正数，存在正整数，当时，；

或者存在正整数，使得是等差数列．

（Ⅰ）详见解析；

（Ⅱ）详见解析.

（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时，，所以关于单调递减.所以，即证明；

（Ⅱ）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.

（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则

.

所以

①当时，取正整数，则当时，，因此.

此时，是等差数列.

②当时，对任意，

③当时，

当时，有.

对任意正数，取正整数，

故当时，.

【考点】1.新定义；

2.数列的综合应用;

3.推理与证明.

【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.

5.【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

【答案】

（1）..

（2）.

根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.

（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由已知，得，而，所以.

又因为，解得.所以，.

由，可得①.

由，可得②，

联立①②，解得，，由此可得.

所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.

（II）解：

设数列的前项和为，

由，，有，

故，

，

上述两式相减，得

得.

所以，数列的前项和为.

【考点】等差数列、等比数列、数列求和

【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.

6.【2017浙江，22】

（本题满分15分）已知数列{xn}满足：

x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（）．

证明：

当时，

（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；

（Ⅱ）2xn+1−xn≤；

（Ⅲ）≤xn≤．

（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）见解析．

（Ⅰ）由数学归纳法证明；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，构造函数，由函数单调性可证；

（Ⅲ）由，得，递推可得

（Ⅰ）用数学归纳法证明：

当n=1时，x1=1>

假设n=k时，xk>

0，那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．

因此，所以，因此

（Ⅲ）因为，所以得，

，，

故，

【