届江苏省苏州市第五中学高三月考数学理试题Word格式.docx
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12.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[−1,1)上,
其中若,则的值是▲.
13.已知函数,若对于任意,不等式恒成立,则实数的最大值为▲.
14.设函数,若当时,不等式f(x)≥4恒成立,则的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知函数.
(1)求的值;
(2)求的最小正周期及单调递增区间.
16.(本小题满分14分)
记函数的定义域、值域分别为集合.
(1)当时,求;
(2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
17.(本小题满分14分)
如图,在三棱柱中,为棱的中点,,
.
求证:
(1)平面;
(2)∥平面.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(1,).过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P,交直线l:
x=m(m>a)于点M.已知点B(1,0),直线PB交l于点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若MB是线段PN的垂直平分线,求实数m的值.
19.(本题满分16分)
某市举办“广电狂欢购物节”促销活动,某厂商拟投入适当的广告费,对所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足(其中,a为正常数).已知生产该批产品p万件还需投入成本()万元(不含广告费用),产品的销售价格定为元/件,假定厂商生产的产品恰好能够售完.
(1)将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数;
(2)问广告费投入多少万元时,厂商的利润最大?
20.(本题满分16分)
已知,函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围;
(3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
苏州五中2018——2019学年第一学期阶段性测试
高三数学(数学Ⅱ)(附加题)
21.已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点变换成..,求矩阵M.
22.已知曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是(为参数).设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.
23.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC=4,BD=2,OP=4.
(1)求异面直线AP与BM所成角的余弦值;
(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.
24.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;
如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;
如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;
每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(Ⅱ)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望E(X).
苏州五中2018-2019学年第一学期阶段性测试
高三数学(数学I)
1.已知集合,,则=▲.
2.函数的最小正周期为▲.
3.设幂函数的图象经过点,则▲.3
4.在中,角的对边分别为,若,,,则=▲.
5.若命题“,”是假命题,则实数的取值范围是▲.
6.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的焦点坐标为▲.
7.函数的值域为________.
8.函数的图像经过第二、三、四象限,则的取值范围为▲.(0,a)
9.在等差数列中,若,则数列的前6项的和▲.2
11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0]上为单调增函数.若f(-1)=-2,则满足f(2x-3)≤2的x的取值范围是▲.
(-∞,2]
12.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[−1,1)上,其中若,则的值是▲.
【答案】
考点:
分段函数,周期性质
13.已知函数,若对于任意,不等式恒成立,则实数的最大值为▲.4
14.设函数,若当时,不等式恒成立,则的取值范围是▲.
解答:
(1)2;
(2)T=,
解:
(1)当时,,由,得.…2分
又,所以.…4分
故.…6分
(2)“”是“”的必要不充分条件.…8分
①当时,,,适合题意;
………9分
②当时,,,适合题意;
…11分
③当时,,,不适合题意.……13分
综上所述,实数的取值范围是.……14分
如图,在三棱柱中,为棱的中点,,.
证明:
(1)因为,
所以,所以;
………3分
又因为,得,所以.
………6分
又,所以平面;
………8分
(2)连接交与点,连接,在中,分别为的中点,所以,又,所以∥平面.
………14分
解析
(1)由题意知,,将代入化简得:
().
(2).
当时,时,所以函数在上单调递增;
时,所以函数在上单调递减.促销费用投入1万元时,厂家的利润最大.
当时,因为函数在上单调递增,在上单调递增,所以时,函数有最大值.即促销费用投入万元时,厂家的利润最大.综上所述,当时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大;
当时,促销费用投入万元,厂家的利润最大.
(注:
当时,也可以:
,当且仅当时,上式取等号).
(1).
(2).(3).
【解析】
试题分析:
(1)由,利用得求解.
(2)转化得到,讨论当、时,以及且时的情况.
(3)讨论在上单调递减.
确定函数在区间上的最大值与最小值之差.得到,对任意
成立.
试题解析:
(1)由,得,
解得.
(2),,
当时,,经检验,满足题意.
当且时,,,.
是原方程的解当且仅当,即;
是原方程的解当且仅当,即.
于是满足题意的.
综上,的取值范围为.
(3)当时,,,
所以在上单调递减.
函数在区间上的最大值与最小值分别为,.
即,对任意
因为,所以函数在区间上单调递增,时,
有最小值,由,得.
故的取值范围为.
数学Ⅱ(附加题)
21.已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点变换成,求矩阵M。
解析:
设矩阵,则由条件得,从而,
又,从而,联立,解之得,
故
曲线的直角坐标方程为,故圆的圆心坐标为(0,1),半径
直线l的直角坐标方程,令,得,即点的坐标为(2,0).
从而,所以.即的最大值为。
(1)因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD.因为OP⊥底面ABCD,所以以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(-2,0,0),M(-1,0,2),
所以=(-2,0,4),=(-1,-1,2),⋅=10,
∣∣=2,∣∣=.
则cos<,>===.
故异面直线AP与BM所成角的余弦值为………………5分
(2)=(-2,1,0),=(-1,-1,2).
设平面ABM的一个法向量为n=(x,y,z),
则得令x=2,得y=4,z=3.
所以平面ABM的一个法向量为n=(2,4,3).
又平面PAC的一个法向量为=(0,1,0),所以n⋅=4,∣n∣=,∣∣=1.
则cos<n,>==.
故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.……………………………10分
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(Ⅱ)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
(Ⅰ)(Ⅱ)分布列见解析,
(Ⅱ)由题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性,得