届江苏省苏州市第五中学高三月考数学理试题Word格式.docx

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12．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[−1,1）上，

其中若，则的值是▲.

13．已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为▲．

14．设函数，若当时，不等式f（x）≥4恒成立，则的取值范围是▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知函数.

（1）求的值；

（2）求的最小正周期及单调递增区间.

16．（本小题满分14分）

记函数的定义域、值域分别为集合.

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

17．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱中，为棱的中点，，

.

求证：

（1）平面；

（2）∥平面.

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：

x＝m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．

19．（本题满分16分）

某市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该批产品p万件还需投入成本（）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为元／件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．

（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；

（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？

20．（本题满分16分）

已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

苏州五中2018——2019学年第一学期阶段性测试

高三数学（数学Ⅱ）（附加题）

21．已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成..，求矩阵M.

22．已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.

23．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC＝4，BD＝2，OP＝4．

（1）求异面直线AP与BM所成角的余弦值；

（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．

24．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；

如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；

如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；

每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望E（X）.

苏州五中2018-2019学年第一学期阶段性测试

高三数学（数学I）

1．已知集合，，则=▲．

2．函数的最小正周期为▲．

3．设幂函数的图象经过点，则▲．3

4．在中，角的对边分别为，若，，，则=▲．

5．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是▲．

6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为▲．

7．函数的值域为________.

8．函数的图像经过第二、三、四象限，则的取值范围为▲．（0，a）

9．在等差数列中，若，则数列的前6项的和▲．2

11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（－∞，0]上为单调增函数．若f（－1）＝－2，则满足f（2x－3）≤2的x的取值范围是▲．

（－∞，2]

12．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[−1,1）上，其中若，则的值是▲.

【答案】

考点：

分段函数，周期性质

13．已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为▲．4

14．设函数，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是▲．

解答：

（1）2；

（2）T=，

解：

（1）当时，，由，得.…2分

又，所以.…4分

故.…6分

（2）“”是“”的必要不充分条件.…8分

①当时，，，适合题意；

………9分

②当时，，，适合题意；

…11分

③当时，，，不适合题意.……13分

综上所述，实数的取值范围是.……14分

如图，在三棱柱中，为棱的中点，，.

证明：

（1）因为，

所以，所以；

………3分

又因为，得，所以.

………6分

又，所以平面；

………8分

（2）连接交与点，连接，在中，分别为的中点，所以，又，所以∥平面．

………14分

解析

（1）由题意知，，将代入化简得：

（）.

（2）．

当时，时，所以函数在上单调递增；

时，所以函数在上单调递减．促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．

当时，因为函数在上单调递增，在上单调递增，所以时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大．综上所述，当时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；

当时,促销费用投入万元，厂家的利润最大．

（注：

当时，也可以：

，当且仅当时，上式取等号）．

（1）．

（2）．（3）．

【解析】

试题分析：

（1）由，利用得求解．

（2）转化得到，讨论当、时，以及且时的情况．

（3）讨论在上单调递减．

确定函数在区间上的最大值与最小值之差.得到，对任意

成立．

试题解析：

（1）由，得，

解得．

（2），，

当时，，经检验，满足题意．

当且时，，，．

是原方程的解当且仅当，即；

是原方程的解当且仅当，即．

于是满足题意的．

综上，的取值范围为．

（3）当时，，，

所以在上单调递减．

函数在区间上的最大值与最小值分别为，．

即，对任意

因为，所以函数在区间上单调递增，时，

有最小值，由，得．

故的取值范围为． 

数学Ⅱ（附加题）

21．已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成，求矩阵M。

解析：

设矩阵，则由条件得，从而，

又，从而，联立，解之得,

故

曲线的直角坐标方程为，故圆的圆心坐标为（0,1），半径

直线l的直角坐标方程,令,得,即点的坐标为（2,0）.

从而,所以.即的最大值为。

（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．因为OP⊥底面ABCD，所以以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（－2，0，0），M（－1，0，2），

所以＝（－2，0，4），＝（－1，－1，2），⋅＝10，

∣∣＝2，∣∣＝．

则cos＜，＞＝＝＝．

故异面直线AP与BM所成角的余弦值为………………5分

（2）＝（－2，1，0），＝（－1，－1，2）．

设平面ABM的一个法向量为n＝（x，y，z），

则得令x＝2，得y＝4，z＝3．

所以平面ABM的一个法向量为n＝（2，4，3）．

又平面PAC的一个法向量为＝（0，1，0），所以n⋅＝4，∣n∣＝，∣∣＝1．

则cos＜n，＞＝＝．

故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.……………………………10分

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（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.

（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，

（Ⅱ）由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得