黄金分割法-进退法-原理及流程图文档格式.docx
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如果f（a1）<
f（a2），令b=a2，a2=a1,a1=b-r*（b-a）,如果｜（b-a）/b｜和｜（y1-y2）/y2｜都大于收敛精度ε重新开始。
因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。
黄金分割法原理如图１所示，
（3）程序流程如下：
4实验所编程序框图
开始
r=0.618
给定a=-3,b=5,收敛精度ε=0.001
结束
a*=（a+b）/2
a1=b-r*（b-a）
y1=f（a1）
b=a2
a2=a1y2=y1
a2=a+r*（b-a）
y2=f（a2）
a=a1
a1=a2y1=y2
y1>
=y2
a1=b-r*（b-a）y1=f（a1）
a2=a+r*（b-a）y2=f（a2）
否
是
｜（b-a）/b｜<
ε和
｜（y2-y1）/y2｜<
ε?
否
#include《math.h》
#include《stdio.h》
#definef（x）x*x+2*x
doublecalc（double*a,double*b,doublee,int*n）
{doublex1,x2,s;
if（fabs（*b-*a）<
=e）
s=f（（*b+*a）/2）;
else
{x1=*b-0.618*（*b-*a）;
x2=*a+0.618*（*b-*a）;
if（f（x1）>
f（x2））
*a=x1;
*b=x2;
*n=*n+1;
s=calc（a,b,e,n）;
}
returns;
main（）
{doubles,a,b,e;
intn=0;
scanf（"
%lf%lf%lf"
&
a,&
b,&
e）;
s=calc（&
b,e,&
n）;
printf（"
a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%d\n"
a,b,s,n）;
}
5程序运行结果如下图：
2进退法
（1）算法原理
进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点的区间）的算法，其理论依据是：
为单谷函数（只有一个极值点），且为其极小值点的一个搜索区间，对于任意，如果，则为极小值的搜索区间，如果，则为极小值的搜索区间。
因此，在给定初始点，及初始搜索步长的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算。
（1）如果
则可知搜索区间为，其中待求，为确定，后退一步计算，为缩小系数，且，直接找到合适的，使得，从而确定搜索区间。
（2）如果
则可知搜索区间为，其中待求，为确定，前进一步计算，为放大系数，且，知道找到合适的，使得，从而确定搜索区间。
进退法求极值
基本思想：
对f（x）任选一个初始点x1及初始步长h0，通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为“高—低—高”形态。
算法原理
1.试探搜索：
选定初始点x1,x2=x1+h0，计算y1＝f（x1），y2＝f（x2）
（a）如y1>
y2,转2向右前进；
（b）如y1<
y2,转3向左后退；
图8.1
2.前进搜索
加大步长h＝2h，产生新点x3=x2+2h0；
（a）如y2<
y3，则函数在[x1，x3]内必有极小点，令a=x1，b=x3搜索区间为[a，b]；
（b）如y2>
y3，
令x1=x2，y1=y2；
x2=x3，y2=y3；
h=2h
重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、y3的大小，直到y2<
y3。
图8.2
3.后退搜索
令h＝-h0，令x3=x1，y3=y1；
x1=x2，y1=y2；
x2=x3，y2=y3；
h=2h；
产生新点x3=x2+h；
（a）如y2<
y3，则函数在[x1，x3]内必有极小点，令a=x3，b=x1，搜索区间为[a，b]
令x1=x2，y1=y2；
x2=x3，y2=y3；
h=2h
重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、y3的大小，直到y2<
令a=x1，b=x3，搜索区间为[a，b]；
图8.3
（2）算法步骤
用进退法求一维无约束问题的搜索区间（包含极小值点的区间）的基本算法步骤如下：
（1）给定初始点，初始步长，令，，；
（2）令，置；
（3）若，则转步骤（4），否则转步骤（5）；
（4）令，，，令，转步骤
（2）；
（5）若，则转步骤（6）否则转步骤（7）；
（6）令，，，转步骤
（2）；
（7）令，停止计算，极小值点包含于区间
（3）算法的MATLAB实现
在MATLAB中编程实现的进退函数为：
功能：
用进退法求解一维函数的极值区间。
调用格式：
其中，：
目标函数；
：
初始点；
初始步长；
精度；
目标函数取包含极值的区间左端点；
目标函数取包含极值的区间又端点。
进退法的MATLAB程序代码如下：
function[minx,maxx]=minJT（f,x0,h0,eps）
%目标函数:
f;
%初始点:
x0;
%初始步长:
h0;
%精度:
eps;
%目标函数取包含极值的区间左端点:
minx;
%目标函数取包含极值的区间又端点:
maxx;
formatlong;
ifnargin==3
eps=1.0e-6;
end
x1=x0;
k=0;
h=h0;
while1
x4=x1+h;
%试探步
k=k+1;
f4=subs（f,findsym（f）,x4）;
f1=subs（f,findsym（f）,x1）;
iff4<
f1
x2=x1;
x1=x4;
f2=f1;
f1=f4;
h=2*h;
%加大步长
else
ifk==1
h=-h;
%反向搜索
x2=x4;
f2=f4;
else
x3=x2;
x2=x1;
x1=x4;
break;
end
end
minx=min（x1,x3）;
maxx=x1+x3-minx;
formatshort;
流程图如下：
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