重积分的数值计算【信息科学与技术专业】【毕业设计+文献综述+开题报告】Word文件下载.docx
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1.1 问题的背景……………………………………………………………^… 1
1.2 问题的意义 2
2重积分的数值计算 3
2．1 梯形求积公式及其复合公式 3
2.1.1梯形求积公式 3
2.1.2复合梯形求积公式 4
2.2抛物线求积公式及其复合公式 5
2.2.1抛物线求积公式 5
2.2.2复合抛物线求积公式 7
2.3Gauss型求积公式 8
2.3.1Gauss型求积公式 8
2.3.2另外几种Gauss型求积公式 11
3MATLAB实例 14
3.1MATLAB介绍 14
3.2MATLAB中的重积分计算 14
致谢 19
参考文献 20
本科生毕业论文（设计）
1 绪论
1.1问题的背景
多重积分是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数（多变量的函数），例如求f（x,y）或者
f（x,y,z）类型的多元函数的积分.
设f（x,y）是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数.J是一个确定的数，若对任给的正数e，
总存在某个正数d，对于D的任何分割T，当它的细度T<
d时，属于T的所有积分和都有
n
å
f（xi,hi）Dsi-J
i=1
<
e，则称f（x,y）在D上可积，数J称为函数f（x,y）在D上的二重积分，记
作
J=ò
ò
f（x,y）ds，
D
其中f（x,y）称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域.[1]
定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限[2].定积分的几乎所有性质都可以推广到重积分[3].
将科学技术中的实际问题转化为数学问题，即根据相关科学理论，建立数学模型，然后求解，这是进行科学计算的前提或先决条件.实际上，许多数学问题是没有办法求出其精确解的.因此，只好通过数值计算方法求其近似值.数值计算方法以数字计算机求解数学问题的方法与理论为研究对象，其内容包括：
函数插值，数值微分和积分，线性方程组的解法等.重积分的数值计算是数值计算方法中的一个分支，是我们人类从事科学探索和研究时必不可少的手段.在计算机技术与计算机得到迅速发展的今天，我们有了快速数字电子计算机的工具，科学计算被推向科学活动的前沿，上升为一种重要的科学.
重积分是应用极为广泛，无论是日常工农业生产还是国防尖端科学技术的研究，如，大、中型机电产品的优化设计、重大工程项目的设计、地质勘探与油田开发、气象预报与地震预测、新型尖端武器的研制和航天与航空的发展等都离不开它，近年来还被应用到医学、生物学及经济管理、金融和社会学等领域.[4]
目前，许多学者研究的重点集中在以下几个方面：
1、面对不同的权函数，构造不同的直交多项式，然后得到不同的Gauss型求积公式，然后进行验证.
2、构造新的重积分的计算公式，在已有公式下证明算法的精确性.
3、二者结合,构造新的算法,然后从理论上证明其精确性.
4、充分利用Gauss公式,研究牛顿迭代的变形.
5、讨论和别的最优化方法的结合,比如牛顿法和共轭梯度法的结合,但是这方面的研究还比较薄弱.
6、几种求积公式计算精确度的比较.
1.2问题的意义
微分实际上是求一函数的导数，而积分则是已知一函数的导数，求这一函数.所以，微分运算与积分运算是互为逆运算.积分运算是高等数学中的重要运算之一，但由于它的逆运算性质往往使它的运算过程具有复杂性.本文的最终目的就是，归纳总结常用的数值积分公式.实际上，有多种常用的数值积分公式.本文选举其中几种富有代表性的来论述.
重积分是有界闭区域上定义的有界多元函数的积分和（或上和或下和）的极限，它具有丰富的内涵，包括对积分区域分割的任意性、自变量在积分区域上取值的任意性及与重积分对应的极限是一个确定实数等方面.然而，随着高等教育规模的不断扩大与数学分析（高等数学）教学课时量的不断压缩，重积分的概念几乎只与概念本身对应的几何（或物理）模型有关，更多的人关注的是怎样将重积分转化为累次积分进行计算的问题，而且成果丰硕.准确把握重积分本质内涵并辅之以适当计算方法，将有助于重积分类问题的完满解决.
那么，本篇论文为什么要加入MATLAB？
目前数值分析对自然科学尤其是数学的各个分支来说占着很重要的地位.利用MATLAB解决数学问题不仅可以增强各种重积分理论的直观性，呈现出各种事物的现象和内部结构及其发展变化规律，帮助我们获得更多的感性材料，加深对重积分理论的理解与掌握，而且也有助于学习上的情感教育，充分调动我们学习数学的兴趣，同时还可以增大学习的容量，有效地提高学习效果与效率.利用MATLAB制作出来的文档把符号功能、数值计算、图形和编程有机结合起来.把“枯燥的”归纳各种理论变成生动活拨充满情趣的学习过程.本文通过实例介绍MATLAB在重积分的数值计算中的应用，指出了MATLAB在解决重积分中遇到的某些问题的优势.
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2重积分的数值计算
2．1 梯形求积公式及其复合公式
2.1.1梯形求积公式
当我们需要计算函数z=
f（x,y）在xOy平面的某个区域上的定积分时候，必须要计算多重
积分.在初等微积分中已经学过，2重积分可以化成累次积分计算.于是我们有
b d d b
Af（x,y）dA=ò
a（ò
cf（x,y）dy）dx=ò
c（ò
a
f（x,y）dx）dy.
（2.1.1）
在式（2.1.1）中，积分区域是由下面的直线围成的矩形区域
x=a,x=b,y=c,y=d.
事实上，积分区域不必是矩形的，累次积分分限也不必是常数，但是我们把这种情况放到后面来讨论.在累次积分过程中，当对y积分时,设x是常数.
当求积节点取为等距节点
xk=a+kh,（k=0,1,…,n,h=（b-a）/n） （2.1.2）
b
时，记x=a+th,则得求积系数
w（n）=
l（x）dx=
b（x-x0）×
×
（x-xk-1）（x-xk-1）（x-xk+1）×
（x-xn）dx
k ò
ak
ò
a （x
-x0
）×
（xk
-xk-1
）（xk
-xk+1
-xn）
k
（-1）n-kh n
=k!
（n-k）!
ò
0t（t-1）×
×
（t-k+1）（t-k-1）×
（t-n）dt,k=0,1,×
n.
（2.1.3）
求积节点为等距节点的求积公式，Qn[f]=å
wf
（n）
k称为Newton-Cotes公式.
k=0
1
在Newton-Cotes公式求积系数公式中，当n=1时有
w
（1）=-（b-
a）ò
0（t
-1）dt=1（b-a）,2
（2.1.4）
w
（1）=（b-
tdt
=1（b-a）.
2
（2.1.5）
将求积系数w
（1）,w
（1）代入求积公式Qn[f]=å
w（n）f得到
0 1 k k
称为梯形求积公式，它的余项是
Qn[f]=b-a（f（a）+f（b））.
（2.1.6）
R[f]=1
f'
'
（x）（x-a）（x-b）dx,xÎ
（a,b）.
（2.1.7）
设积分区域是矩形
1 2ò
R={（x,y）|a£
x£
A,b£
y£
B}， （2.1.8）
它的每一边平行于坐标轴，令
x0=a,x1=A,y0=b,y1=B.
于是得到4个点（xk,yl）（k,l=0,1）.如果f在R内连续，则有
A B
f（x,y）dxdy=ò
adxò
R
f（x,y）dy. （2.1.9）
利用梯形公式计算内部积分
A
f（x,y）dxdy=B-b [f（x,y）+f（x,y）]dx， （2.1.10）
ò
a 0 1
对上式右边再次应用梯形公式,可得
f（x,y）dxdy=1（B-b）（A-a）[f（x,y）+f（x,y
）+f（x
y）+f（x,y）].
4
0 0 1 0
0 1 1 1
（2.1.11）
这式（2.1.11）即梯形求积公式在2重积分上的形式.
2.1.2复合梯形求积公式
由定积分的几何意义可以知道，梯形的面积近似的代替于曲边梯形的面积.因此，通常采取的
方法是细分求积区间.应用高阶的Newton-Cotes型求积公式计算积分ò
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