一元一次方程复习含答案Word文档格式.docx
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整式方程.
(2)判断一个数是否是某方程的解:
将其代入方程两边,看两边是否相等.
知识点二:
方程变形——解方程的重要依据
1、等式的基本性质(也叫做方程的同解原理):
等式的性质1:
等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
即:
如果,那么;
(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2:
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
如果,那么
2、分数的基本的性质:
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。
(其中m≠0)
注:
分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数, 如方程:
-=1.6,将其化为的形式:
-=1.6。
方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开。
知识点三:
解一元一次方程的一般步骤:
1、解一元一次方程的基本思路:
通过对方程变形,把含有未知数的项归到方程的一边,把常数项归到方程的另一边,最终把方程“转化”成x=a的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤是:
变形名称
具体做法
变形依据
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
去括号法则、分配律
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
合并同类项法则
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程
的解x=
注意:
(1)解方程时应注意:
①解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据方程形式灵活安排求解步骤。
熟练后,步骤及检验还可以合并简化。
②去分母时,不要漏乘没有分母的项。
去分母是为了简化运算,若不使用,可进行分数运算。
③去括号时,不要漏乘括号内的项,若括号前为“-”号,括号内各项要改变符号。
(2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况:
①移项时忘记改变符号;
②去分母时,易忘记将某些整式也乘最简公分母;
③分数线兼有括号的作用,在去分母后,易忘记添加括号;
3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用:
(1)a≠0时,方程有唯一解;
(2)a=0,b=0时,方程有无数个解;
(3)a=0,b≠0时,方程无解。
知识点四:
列一元一次方程解应用题的一般步骤:
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤:
(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系.
(2)设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数.
(3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程.
(4)解方程.
(5)检验,看方程的解是否符合题意.
(6)写出答案.
2、解应用题的书写格式:
设→根据题意→解这个方程→答。
(1)在一道应用题中,往往含有几个未知数量,应恰当地选择其中的一个,用字母x表示出来,即所设的未知数,然后根据数量之间的关系,将其它几个未知数量用含x的代数式表示。
(2)解应用题时,不能漏掉“答”,“设”和“答”中都必须写清单位名称。
(3)列方程时,要注意方程两边是同一个量,并且单位要统一。
(4)一般情况下,题目中所给的条件在列方程时不能重复使用,也不能漏掉不用。
重复利用同一个条件,会得到一个恒等式,无法求得应用题的解。
知识点五:
常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型:
类型
基本数量关系
等量关系
(1)和、差、倍、分问题
①较大量=较小量+多余量
②总量=倍数×
倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题
变形前后体积相等
(3)行程问题
相遇问题
路程=速度×
时间
甲走的路程+乙走的路程=两地距离
追及问题
同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程
同时不同地出发:
前者走的路程+两地距离=追者所走的路程
顺逆流问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
顺流的距离=逆流的距离
(4)劳力调配问题
从调配后的数量关系中找相等关系,要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
(5)工程问题
工作总量=工作效率×
工作时间
各部分工作量之和=1
(6)利润率问题
商品利润=商品售价-商品进价
商品利润率=×
100%
售价=进价×
(1+利润率)
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(7)数字问题
设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b
抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系
(8)储蓄问题
利息=本金×
利率×
期数
本息和=本金+利息=本金+本金×
期数×
(1-利息税率)
(9)按比例分配问题
甲∶乙∶丙=a∶b∶c
全部数量=各种成分的数量之和(设一份为x)
(10)日历中的问题
日历中每一行上相邻两数,右边的数比左边的数大1;
日历中每一列上相邻的两数,下边的数比上边的数大7
日历中的数a的取值范围是1≤a≤31,且都是正整数
知识点六:
整式、等式与方程的关系
1、正确理解代数式、等式和方程的概念
代数式:
像-1,0,a,-2x+5等,这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子,叫做代数式,单独一个数或一个字母也是代数式。
等式:
用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如,m=n=n+m等都叫做等式,而像-,m2n不含等号,所以它们不是等式,而是代数式。
方程:
含有未知数的等式叫做方程。
如5x+3=11,等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点:
①是等式;
②含有未知数。
两者缺一不可。
2、整式、等式与方程的区别和联系
区别:
①定义不同。
②从是否含有等号来看。
方程首先是一个等式,它是用“=”将两个代数式连接起来的等式,而整式仅用运算符号连接起来,不含有等号。
③等式含有“=”,表示左右两边相等,方程是个特殊的等式,即其中必须含有未知数。
所以有:
方程是等式,但等式却不一定是方程。
联系:
①当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时,这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式,即这个等式就是方程。
如:
要使代数式5x+1的值等于0,即求方程5x+1=0的解。
②当两个整式中的字母取特定的值,使这两个整式的值相等时,也构成一个方程。
要使整式 x+5的值与整式-x-5的值相等,即求方程的解。
③当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时,也构成方程。
要使整式x-4的值比 的值大3,即求方程的解。
通过上面的描述,我们知道,方程是由整式构成的,但整式不是方程。
六、规律方法指导
解一元一次方程的注意事项:
1、分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数;
2、去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分数线相当于除号,去分母后分子各项应加括号;
3、去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
4、移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
5、系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号;
6、不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法。
列方程解应用题的注意事项:
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为:
①设未知数。
②根据等量关系列方程。
③解方程。
④检验解的合理性,如果合理就用以解决实际问题,不合理则需要重新回到开始。
⑤作答。
列方程解应用题是将实际问题数学化的过程,这个过程的关键是建立等量关系,通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节:
一是整体的、系统的审清题意;
二是找问题中的等量关系;
三是正确求解方程并判断解的合理性,其中,审题是基础,找等量关系是关键,为了找准等量关系,可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。
思想方法总结
本章主要的方法有:
化归的方法,分析法,综合法和方程的思想.
1.化归方法,所谓化归即转化,是指求解数学问题时,将较难或较繁或未知的问题进行变换,使之化难为易,化繁为简,化未知为已知,从而使问题得以解决的思维方法,本章中将一元一次方程逐步变形、化简转化为ax=b(a≠0)的形式求解的过程就属于转化的方法.
2.分析法是从未知,看已知,逐步推向已知,即执果索因。
3.综合法是从已知,看未知,逐步推向未知,即由因导果。
研究数学问题时,一般总是先分析,在分析的基础上综合,列方程解应用题就是运用了分析法和综合法相结合的数学方法。
4.方程的思想,方程思想设未知数(把它看成以存在的数),让代替未知数的字母和已知数一样参与运算,列方程解应用题。
本章列方程解应用题,是方程思想的具体应用.。
七、典型例题
一、概念类
例1、在下列式子
(1)2x+3;
(2)1-x=x-2;
(3)2x-y=6;
(4)x+=2中一元一次方程为______个.
分析:
一元一次方程应满足:
①等式;
②一元:
一个未知数;
③一次:
未知数的次数是1;
④整式:
方程中的未知数不能出现在分母中。
(1)不是等式,
(2)满足,(3)含有两个未知数;
(4)未知数出现在分母中。
答案:
1
例2、已知关于x的方程ax+5=-2-3a与方程2x+3=-17的解相同,则a=_________.
首先方程2x+3=-17的解为x=-10,方程ax+5=-2-3a与方程2x+3=-17同解,所以方程ax+5=-2-3a的解为x=-10,那么-10a+5=-2-3a成立,这是关于a的一元一次方程,进而可求得a。
二、解法类
例3、下列方程的变形是否正确?
如果不正确,指出错在何处,并写出正确的变形.
(1)由3+x=-6,得x=-6+3.
答:
不正确.错在数3从方程的等号左边移到右边时没有变号,正确的变形是由3+x=-6,得x=-6-3.
(2)由9x=-4,得.
不正确,错在被除数与除数颠倒(或分子与分母颠倒了).正确的变形是由9x=-4,得.
(3)由5=x-3,得x=-3-5.
答:
不正确.错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错,正确的变形是由5=x-3,得5+3=x,即x=5+3.
(4)由,得3x-2=5-4x+1.
不正确,没有注意到分数中的“分数线”也起