一元一次方程复习含答案Word文档格式.docx

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整式方程．

（2）判断一个数是否是某方程的解：

将其代入方程两边，看两边是否相等．

知识点二：

方程变形——解方程的重要依据

1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）:

等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即：

如果，那么；

（c为一个数或一个式子）。

等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么

2、分数的基本的性质:

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

（其中m≠0）

注：

分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，　如方程：

－=1.6，将其化为的形式：

－=1.6。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

知识点三：

解一元一次方程的一般步骤：

1、解一元一次方程的基本思路：

通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x＝a的形式。

2、解一元一次方程的一般步骤是：

变形名称

具体做法

变形依据

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

等式基本性质2

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

去括号法则、分配律　

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

等式基本性质1

合并同类项

把方程化成ax＝b（a≠0）的形式

合并同类项法则

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程

的解x＝

注意：

（1）解方程时应注意：

①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤。

熟练后，步骤及检验还可以合并简化。

②去分母时，不要漏乘没有分母的项。

去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。

③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。

（2）在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况：

①移项时忘记改变符号；

②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；

③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；

3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

（1）a≠0时，方程有唯一解；

（2）a=0，b=0时，方程有无数个解；

（3）a=0，b≠0时，方程无解。

知识点四：

列一元一次方程解应用题的一般步骤:

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

（4）解方程．

（5）检验，看方程的解是否符合题意．

（6）写出答案．

2、解应用题的书写格式：

设→根据题意→解这个方程→答。

（1）在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。

（2）解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。

（3）列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。

（4）一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。

重复利用同一个条件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。

知识点五：

常见的一些等量关系

常见列方程解应用题的几种类型：

类型

基本数量关系

等量关系

（1）和、差、倍、分问题

①较大量＝较小量＋多余量

②总量＝倍数×

倍量

抓住关键性词语

（2）等积变形问题

变形前后体积相等

（3）行程问题

相遇问题

路程＝速度×

时间

甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离

追及问题

同地不同时出发：

前者走的路程＝追者走的路程

同时不同地出发：

前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程

顺逆流问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

顺流的距离＝逆流的距离

（4）劳力调配问题

从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语

（5）工程问题

工作总量＝工作效率×

工作时间

各部分工作量之和＝1

（6）利润率问题

商品利润＝商品售价－商品进价

商品利润率＝×

100％

售价＝进价×

（1＋利润率）

抓住价格升降对利润率的影响来考虑

（7）数字问题

设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b

抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系

（8）储蓄问题

利息＝本金×

利率×

期数

本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×

期数×

（1－利息税率）

（9）按比例分配问题

甲∶乙∶丙＝a∶b∶c

全部数量＝各种成分的数量之和（设一份为x）

（10）日历中的问题

日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；

日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7

日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数

知识点六：

整式、等式与方程的关系

1、正确理解代数式、等式和方程的概念

代数式：

像－1,0，a，－2x＋5等，这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

等式：

用等号来表示相等关系的式子叫做等式。

如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。

方程：

含有未知数的等式叫做方程。

如5x＋3＝11，等都是方程。

理解方程的概念必须明确两点：

①是等式；

②含有未知数。

两者缺一不可。

2、整式、等式与方程的区别和联系

区别：

①定义不同。

②从是否含有等号来看。

方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

③等式含有“＝”，表示左右两边相等，方程是个特殊的等式，即其中必须含有未知数。

所以有：

方程是等式，但等式却不一定是方程。

联系：

①当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这个等式就是方程。

如：

要使代数式5x＋1的值等于0，即求方程5x＋1＝0的解。

②当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个方程。

要使整式　x＋5的值与整式－x－5的值相等，即求方程的解。

③当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时，也构成方程。

要使整式x－4的值比　的值大3，即求方程的解。

通过上面的描述，我们知道，方程是由整式构成的，但整式不是方程。

六、规律方法指导

解一元一次方程的注意事项：

1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；

2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于除号，去分母后分子各项应加括号；

3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；

5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；

6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。

列方程解应用题的注意事项：

列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：

①设未知数。

②根据等量关系列方程。

③解方程。

④检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。

⑤作答。

列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：

一是整体的、系统的审清题意；

二是找问题中的等量关系；

三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。

思想方法总结

本章主要的方法有：

化归的方法，分析法，综合法和方程的思想.

1．化归方法，所谓化归即转化，是指求解数学问题时，将较难或较繁或未知的问题进行变换，使之化难为易，化繁为简，化未知为已知，从而使问题得以解决的思维方法，本章中将一元一次方程逐步变形、化简转化为ax=b（a≠0）的形式求解的过程就属于转化的方法.

2．分析法是从未知，看已知，逐步推向已知，即执果索因。

3．综合法是从已知，看未知，逐步推向未知，即由因导果。

研究数学问题时，一般总是先分析，在分析的基础上综合，列方程解应用题就是运用了分析法和综合法相结合的数学方法。

4．方程的思想，方程思想设未知数（把它看成以存在的数），让代替未知数的字母和已知数一样参与运算，列方程解应用题。

本章列方程解应用题，是方程思想的具体应用.。

七、典型例题

一、概念类

例1、在下列式子

（1）2x+3；

（2）1-x=x-2；

（3）2x-y=6；

（4）x+=2中一元一次方程为______个．

分析：

一元一次方程应满足：

①等式；

②一元：

一个未知数；

③一次：

未知数的次数是1；

④整式：

方程中的未知数不能出现在分母中。

（1）不是等式，

（2）满足，（3）含有两个未知数；

（4）未知数出现在分母中。

　　答案：

1

例2、已知关于x的方程ax+5=-2-3a与方程2x+3=-17的解相同,则a=_________.

首先方程2x+3=-17的解为x=-10，方程ax+5=-2-3a与方程2x+3=-17同解，所以方程ax+5=-2-3a的解为x=-10，那么-10a+5=-2-3a成立，这是关于a的一元一次方程，进而可求得a。

二、解法类

例3、下列方程的变形是否正确？

如果不正确，指出错在何处，并写出正确的变形.

（1）由3+x=-6,得x=-6+3.

答：

不正确.错在数3从方程的等号左边移到右边时没有变号，正确的变形是由3+x=-6，得x=-6-3.

（2）由9x=-4,得.

不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.正确的变形是由9x=-4,得.

　　（3）由5=x-3,得x=-3-5.

答：

不正确.错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是由5=x-3，得5+3=x,即x=5+3.

　　（4）由，得3x-2=5-4x+1.

不正确，没有注意到分数中的“分数线”也起