微分方程模型—人口模型与预测实验报告Word文件下载.doc
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2013年5月2日
指导教师：
闫晓辉成绩：
一.实验目的：
掌握常微分方程模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB库函数求解。
二.实验内容：
下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（），万人，万人。
年
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
人口
（万人）
101654
103008
104357
105851
107507
109300
111026
112704
114333
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
115823
117171
118517
119850
121121
122389
123626
124810
实验要求：
1、建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
2、建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
3、绘图，在图中标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
三.实验方案（程序设计说明）
模型一：
指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）
假设：
人口净增长率r是一常数
符号：
时刻时的人口，可微函数时的人口
则
于是x（t）满足如下微分方程：
解为：
模型二：
Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即：
r=r（x）
从而有：
对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r（x）=r-ax
此时得到微分方程：
或
可改写成：
分离变量：
两边积分并整理得：
令x（0）=，求得：
满足初始条件x（0）=的解为：
易见：
四.实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）
1、matlab源程序
%以1982-1998年共计17个数据为例进行拟合：
t=0:
16;
%输入数据
s=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810];
y=log（s）;
p=polyfit（t,y,1）
2、matlab源程序
s=101654*（1+0.0131）.^t;
plot（t,s,'
r'
）
holdon
o'
s=200000./（1+（200000/101654-1）*exp（-0.029*t））;
c'
五．程序运行结果
1、运行结果
p=0.013111.5342
预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：
实际人口
指数增长模型
误差
115819
4
117325
154
118850
333
120395
545
121960
839
123545
1156
125152
1526
由1991年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。
按此模型预测现在中国人口已超过13亿，到2016年中国人口将超过15亿。
我们看到，尽管中国出台了计划生育的措施，但中国近几年仍处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。
同时由于中国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，虽仍有一定误差，但仍基本显示了1991--1998年的人口增长的趋势。
2、运行结果
如图所示：
圈：
人口的实际统计数据
红线：
人口的指数增长曲线
x（t）=x0ert（x0=101654（1982人口），r=0.01116）
蓝绿线：
人口的Logistic增长曲线
N（t）=Nm/（1+（Nm/N0-1）e-r*（t-t0））
（Nm=200000（万）,N0==101654（万）（1982人口））
由预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由Logistic模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：
Logistic模型
115750
73
117161
10
118565
48
119961
111
121348
227
122728
339
124099
473
从上图图可以看出，人口总数具有如下规律：
当人口数的初始值N0>
Nm时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值N0<
Nm时，人口曲线（实线）单调递增；
无论人口初值如何，当t-->
∞，它们皆趋于极限值Nm。
六．实验总结
用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。
相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
学生签名：
年月日
七．教师评语及成绩
教师签名：
年月日
6
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