圆锥曲线概念归纳及题型总结Word文档格式.doc

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在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：

椭圆的短轴端点到焦点的距离为；

在中，，，，且，即；

④离心率：

椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；

反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：

①式中是差的绝对值，在条件下；

时为双曲线的一支；

时为双曲线的另一支（含的一支）；

②当时，表示两条射线；

③当时，不表示任何图形；

④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

椭圆和双曲线比较：

椭圆

双曲线

定义

方程

焦点

如何用方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质

从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：

双曲线在两条直线的外侧。

即，即双曲线在两条直线的外侧。

双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。

令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：

双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：

线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：

线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：

注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：

；

2）等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

；

（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：

，当时交点在轴，当时焦点在轴上。

⑥注意与的区别：

三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程叫做抛物线的标准方程。

它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：

，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

范围

对称性

轴

顶点

离心率

说明：

（1）通径：

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；

（2）抛物线的几何性质的特点：

有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；

（3）注意强调的几何意义：

是焦点到准线的距离。

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：

无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；

对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：

（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在，

（2）联立直线和曲线的方程组；

（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式

（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换

（7）x,y，k（斜率）的取值范围（8）目标：

弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等

运用的知识：

1、中点坐标公式：

，其中是点的中点坐标。

2、弦长公式：

若点在直线上，

则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

或者

。

3、两条直线垂直：

则

两条直线垂直，则直线所在的向量

4、韦达定理：

若一元二次方程有两个不同的根，则。

常见的一些题型：

题型一：

数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

题型二：

弦的垂直平分线问题

题型三：

动弦过定点的问题

题型四：

过已知曲线上定点的弦的问题

题型五：

共线向量问题

题型六：

面积问题

题型七：

弦或弦长为定值问题

题型八：

角度问题

问题九：

四点共线问题

问题十：

范围问题（本质是函数问题）

问题十一、存在性问题：

（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：

三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围

思路点拨：

直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点。

解：

根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。

规律提示：

通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。

练习：

1、过点P（3,2）和抛物线只有一个公共点的直线有（）条。

　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1

分析：

作出抛物线，

判断点P（3,2）相对抛物线的位置。

抛物线如图，点P（3，2）在抛物线

的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P（3,2）和抛物线只有一个公共点的直线有一条。

故选择D

含焦点的区域为圆锥曲线的内部。

（这里可以用公司的设备画图）

一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：

（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：

两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；

（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：

一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；

（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：

和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。

二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：

（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：

和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；

（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：

一条切线，2条和渐近线平行的直线；

（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：

2条切线和2条和渐近线平行的直线；

（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：

一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；

（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。

弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：

垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。

例题2、过点T（-1,0）作直线与曲线N：

交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E（,0），使得是等边三角形，若存在，求出；

若不存在，请说明理由。

过点T（-1,0）的直线和曲线N：

相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：

中线长是边长的倍。

运用弦长公式求弦长。

依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线，，，。

由消y整理，得①

由直线和抛物线交于两点，得即②由韦达定理，得：

则线段AB的中点为。

线段的垂直平分线方程为：

，令y=0,得，则

为正三角形，到直线AB的距离d为。

解得满足②式此时。

思维规律：

直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；

再利用正三角形的性质：

高是边长的倍，将k确定，进而求出的坐标。

例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（Ⅰ）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

第一问求圆的方程，运用几何法：

圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；

第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。

（I）∵a2=2，b2=1，∴c=1，F（-1，0），l:

x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-

设M（-），则圆半径：

r=|（-）-（-2）|=

由|OM|=r，得，解得t=±

，

∴所求圆的方程为（x+）2+（y±

）2=.

（II）由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），

代入+y2=1，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0

∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程一