陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得_精品文档Word格式文档下载.doc
《陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得_精品文档Word格式文档下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得_精品文档Word格式文档下载.doc（5页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
陈教授就是以这一专题开讲的。
在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。
在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。
讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。
如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。
在这一讲中，陈教授对weierstrass的“ε−N”、“ε−δ”语言的评述是“它实现了静态语言对动态极限过程的刻画”。
这句话是非常精当的，如果意识不到这一点，你就很难理解这一点。
在此我还想明确一点：
《数学分析》的研究对象是函数，主要是研究其分析性质，即连续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。
如果仔细盘点一下，在《数学分析》中，无论是数、函数、数列、函数列，数项级数，函数项级数等相关问题，无不用到这一语言，你应该能理解陈教授的“对于数学类学生来说，没有“ε−N”、“ε−δ”语言，在《数学分析》中几乎是寸步难行的”这一观点。
第二讲、实数系的基本定理
在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。
首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。
我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。
这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。
当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。
若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。
对于集合[0,1]与（0,1）的对等关系，包括Q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。
关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。
对于实数集中的有理数，“廖若晨星”是非常形象的描述。
一声集合的哨响，我们发现，有理数在实数轴上几乎是没有位置的（mQ=0），用一系列的帽子来盖住这些点，而这些帽子的大小是ε，这是非常精彩的结果。
从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷”。
我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。
陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象直观。
第三讲 《数学分析》课程中最重要的两个常数
法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。
我想说：
“数学中并不缺少美，缺少的是揭示数学美的老师”。
陈教授是一个出色的老师，他不仅发现了数学的美，而且为我们展示了数学的美。
著名的欧拉公式：
，实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一，获得“最美的数学定理”称号。
欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数（）之间的绝妙的有趣的联系，被认为是数学奇异美的典例。
在本讲中，陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲，让我们体会了数学中的美，这个不等式还有许多有意思的地方，无论是不等式的形式，还是他的证明，都非常深刻地体现了数学的美。
Pi是无理数的证明，吸引了与会学员的眼球，赞叹之余，有学员问这一证法的出处，我也还真想知道，请陈教授不吝指教。
本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。
在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》（第二卷）中也有求出的方法，而p为奇数的情形好像至今尚未解决。
对p=2的情形，欧拉至少用两种方法得到结果，其中一种方法妙用了L’Hospital法则（《数学译林》09.3）。
第四讲 级数与反常积分收敛的A.D判别法
恰逢这个学期讲《数学分析》（3），在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积分，再复习了函数项级数，并将几个判别法列表比较，尤其是A.D判别法，能与陈教授不谋而合，真是倍感荣幸。
陈教授对Abel引理的直观刻画，也是深得学员好评。
我对陈教授从Abel引理分析Sanbn收敛条件的分析而得到Dilichlet判别法和Abel判别法的相关条件深感佩服，尤其是分析得丝丝入扣。
第五讲 函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛
一致收敛性无疑是《数学分析》中的一个重要概念。
陈教授对“点点收敛”与“一致收敛”的剖析是非常到位的，学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“"
x”的位置不相同，而不明其所以时，这样的教学肯定是失败的。
陈教授例子选择精当，语言使用精辟，问题分析精准。
请注意陈教授的这句话：
“毛病出在点态收敛的情况下，在某些点附近，N无法控制”（类似的话在第九讲中说过）。
第六讲 Weierstrass函数：
处处连续处处不可导的函数
陈教授分析了为何在Weierstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。
原来在此之前，数学家们所掌握的函数是不足以构造出这样的函数的。
Weierstrass在1872年构造出了如下处处连续处处不可导的函数：
Sansin（bnx）0<
a<
1<
b,ab>
1
陈教授选用1930年VanDerWaerden给出的例子进行了剖析。
所讲自是精当，本人很是受益。
第七讲 条件极值问题与Lagrange乘数法
本讲陈教授从一个几何问题入手，得到一个条件极值问题。
考虑了条件极值的必要条件，引入Lagrange乘数法，化条件极值问题为无极条件极值问题。
这部分内容中，本人认为几何解释最有启发性。
对于具体使用Lagrange乘数法的例子中，如何解方程组，陈教授给了很好的建议。
第二个例子，即求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。
这个例子我很喜欢，只可惜不能用来做期末考题（不要问我为什么！
）。
第八讲 重积分的变量代换
本讲陈教授从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想（在教学中注重渗透数学思想方法，如此妙哉！
）再作分析，然后得出代换公式。
为证明代换公式，陈教授引入本原映射，化“矩形”为“梯形”，化变换T为两个本原变换的复合，实现了化复杂为简单，化困难为容易。
第九讲 《数学分析》课程中的否定命题
《数学分析》教学中，说说“反话”很重要！
（请不要误解！
）
两个命题与如果既不能同时成立，也不能同时不成立，就称与互为否定命题。
若与互为否定命题，则与一定满足：
一个成立，另一个必然不成立；
一个不成立，另一个必定成立。
（废话！
有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、（注意前边两对的区别！
）、可导与不可导、Cauchy收敛准则及其否定命题，等等。
这些“反话”不说，大量的题做不了。
我在讲《数学分析》
（1）时会有一讲（几个概念的否定叙述）就是来讲否定命题的。
陈教授在这部分的例子非常好，分析得也清楚！
陈教授的九讲，给了我们太多的启示：
一、在我们的教学中，不仅要教其所以然，而且要教其所以然。
陈教授的这九讲，应该是我们讲授《数学分析》的经典案例，当然，我们不一定是讲这一些内容！
正确的思想从哪里来，是从天上掉下来的吗？
不是！
二、在我们的教学，不仅要传授知识，而且要传授思想方法，也就是教学中要注
重思想方法的渗透。
三、在我们的教学中，不仅要传授知识，而且要培养学生的数学素养，让他们了解数学的过去、现在，以便开创数学的将来。
四、在我们的教学中，或许会遇的许多困难：
教学时数少，教学对象差等等，但我们应从我们自身积极的寻找对策。
陈教授就是这样的。
以上所述，仅凭个人听课记录，又仅凭个人理解。
若是有误，请陈教授见谅并斧正。
最后，向陈纪修教授致以崇高的敬意！
滇源后学：
周兴伟
升级会员 