例谈数形结合思想在小学数学教学中的应用_精品文档Word文档格式.doc
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数学量关系常看作“数”，进一步扩展为抽象的形式化的数学对象，如数、式、方程等等。
“形”构成了数学的直观化图形语言，“数”构成了数学的抽象化符号语言，由于“数”和“形”各有优势，所以人们常常把数和形结合起来进行思考，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，寻找解题思路的一种思想。
它包含着转化方向相反的两个方面，一是由数及形，对于表面上属于代数类的问题，充分利用“形”把其中数量关系的几何特征形象地表示出来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化抽象为直观，以形助数，使问题获解。
美国著名数学家斯蒂恩说过：
“如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就整体把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。
”二是由形及数，根据图形结构关系特征，寻找恰当表达问题的数量关系式，将几何问题代数化，利用代数的算法化优势，以数助形，使问题获解。
华罗庚先生曾作一首著名的小诗描述数形结合思想：
数形本是相倚依，怎能分作两边飞；
数缺形时少直觉，形少数时难入微；
数形结合百般好，隔离分家万事休；
几何代数统一体，永远联系莫分离。
”这首诗向我们深刻地描绘了数形之间的和谐。
在小学数学教学中，数形结合作为一种数学思想，主要是以渗透的教学形态为主，它蕴含于数学知识之中，又高于具体知识的一种理性认识，在教学中，要以数学知识为载体，通过对数学问题的分析和解决过程来体现，强调学生自身对数形结合思想的体验和感悟，也就是通过潜移默化的手段使数学思想悄然扎根于学生的头脑之中，逐步成长为一种意识、观念和素质，并在后续的学习、工作、生活中随时随地发挥作用，使他们终生受益。
数形结合思想隐含于不同层次的不同知识点中，因此，学生理解和形成数形结合思想需要一个长期的过程，需要在这个过程中逐步丰富认识、积累经验、加深感悟。
下面结合小学数学教学，谈谈数形结合思想在其中的应用。
一、由数及形，以形助数
数轴是数形结合最基本的载体，在一年级上册学生学习数的初步认识时就有了相应的体现。
例1．苏教2012版义务教育教科书一年级上册第21页第3题：
填一填，读一读。
2
3
教师应充分引导学生认真观察数轴的特点，直观形象地体验点与数的关系，如点与数的一一对应、数的有序性等，使学生很容易感悟理解数的顺序、大小等特点。
巧用直观图形帮助理解并解决实际问题，在小学数学教学中有着大量的应用。
例2．苏教版小学数学三年级上册第45页思考题：
妈妈的年龄是小芳的4倍，妈妈比小芳大27岁，妈妈和小芳各多少岁？
这种题对于三年级学生来说，往往较难解决，但如果老师能够充分重视引导学生在读懂题目的基础上，画出线段图，则大部分学生都能够很顺利地解决。
27岁
小芳
妈妈
从线段图中，我们可以形象地看出，小芳的年龄用1份线段表示，妈妈的年龄就可以用这样的4份表示，妈妈比小芳大的27岁则是这样的3份，由此可以引导学生求出1份线段表示的年龄是：
27÷
3=9（岁），即小芳的年龄是9岁，妈妈的年龄则是：
9×
4=36（岁）。
例3．在进行三年级“加减乘除整理”教学时，老师问学生：
加数相同时可用乘法计算，不同的加数相加时可以用乘法计算吗？
比如2＋4＋6=？
老师适时出示如下左图，学生经过思考讨论，认为可以将图中的小方块进行“移多补少”，将最下面的6个方块中移2个给上面，这样每排都是4个小方块，即右图，可以看出是“3个4”，能用4×
3=12这样的乘法算式进行计算。
在这里，图形起到了关键性的作用，将抽象的“数”转化成直观的“形”，学生通过对“形”的充分观察思考，能很轻松愉悦地理解不同加数相加（有特定要求）转化为乘法的算理。
在这里，学生不仅感悟了数形结合思想的魅力，还感悟了转化的思想、移多补少的方法等。
二、由形及数，以数解形
事实上，小学阶段涉及到的所有图形都蕴含着简明精要的数量关系，尤其是一些基本图形，它们的某些属性都是由数量关系反映出来的。
如长方形、正方形的周长和面积计算公式等。
例4．苏教版小学数学六年级上册第15页例4：
做一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体纸盒，至少要用多少平方厘米硬纸板？
（图略）
教师引导学生借助图形直观分析，要求“至少要用多少平方厘米的硬纸板”就是求该长方体的表面积，也就是求6个面的面积总和。
从而引导学生得出：
分别求出3组相对的面的面积，再相加，列式：
6×
5×
2＋6×
4×
2＋4×
也有学生提出：
六个面可以分为2组，先分别求出每组中一个面的面积，相加后再乘2，列式：
（6×
5＋6×
4＋4×
5）×
这时，老师引导学生观察：
这两种解法在算理上有什么联系？
经过讨论，一致认为这两个算式可以用乘法分配律进行解释，从而进一步增强了“形”与“数”、“数”与“数”之间的内在联系。
在此基础上，抽象出求长方体表面积的数量关系模型：
长方体的表面积=长×
宽×
2＋长×
高×
2＋宽×
2或（长×
宽＋长×
高＋宽×
高）×
2。
使图形问题的解决更加简捷。
三、数形结合，辨假求真
“形”直观形象，但有时却给人以假象，“数”的计算就比较确切精准。
在引导学生充分利用“形”的直观形象时，要注意逐步培养学生从“数”的角度进行计算、验证，培养科学的求真精神。
在苏教版小学数学五年级下册学完“圆的认识”单元后，有位老师给学生出了道题目：
例5．假设有一个表面极其光滑而且像地球那样大的圆球，一条钢带紧紧箍住了这个球的赤道。
如今给这条钢带增加1米的长度，使得钢带离开了球的表面，并且处处同球保持着相等的距离。
钢带的这种升高，是不是足以使你能够在钢带下面塞进你的一只拳头？
面对这个问题，孩子们伸出拳头看看，认为这怎么可能呢？
那么大的圆，增加1米的长度简直是微不足道的。
于是凭着自己的直观想象，纷纷认为这不可能！
于是，老师引导学生利用有关圆周长的数量关系进行计算：
假设钢带箍住圆球时，钢带形成的圆的半径是a米，当圆周长增加1米后，圆的半径多了b米，即增加后的圆半径是（a＋b）米，列出数量关系式并解出：
2π（a＋b）=2πa＋1
2πa＋2πb=2πa＋1
2πb=1
b=1÷
2π
b≈0.16
结果似乎令人惊奇！
半径竟然多出了16厘米左右！
简直不可想象。
然而这却是计算的真实结果。
实际上，从上面的计算可以看出，这个圆球不论是地球还是足球，升高的高度是完全一样的，都是大约16厘米，这有点超出几何直观。
老师可以建议学生举例实际动手做一做，试一试。
总之，数形结合能使数量的精确刻画与空间形式的直观形象达到和谐统一，在小学数学教学中有机渗透数形结合思想，不仅有利于学生更好地掌握相应的数学知识，提高发现、提出和解决相关的数学问题的能力，更能让他们感受到数学的真与美。
参考文献：
1．顾泠沅主编，邵光华著《作为教育任务的数学思想与方法》，上海教育出版社，2009.9
2．王林等著《小学数学课程标准研究与实践》，江苏教育出版社，2011.7
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