北师大版数学九年级上学期期末备考压轴题专项习题反比例函数含答案.docx

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北师大版数学九年级上学期期末备考压轴题专项习题反比例函数含答案

期末备考压轴题专项习题：

反比例函数

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OBC与△OBA的面积比为2：

3．

（1）k＝　6　，b＝　5　；

（2）求点C的坐标；

（3）若将△OBC绕点O顺时针旋转，得到△OB'C'，其中B的对应点是B'，C的对应点是C'，当点C'落在x轴正半轴上，判断点B是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．

解：

（1）将A（1，6）代入y＝x+b，

得，6＝1+b，

∴b＝5，

将A（1，6）代入y＝，

得，6＝，

∴k＝6，

故答案为：

6，5；

（2）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，

∵△OBC与△OBA的面积比为2：

3，

∴＝，

又∵点A的坐标为（1，6），

∴AN＝6，

∴CM＝4，即点C的纵坐标为4，

把y＝4代入y＝x+5中，

得，x＝﹣1，

∴C（﹣1，4）；

（3）由题意可知，OC'＝OC＝＝＝，

如图2，过点B'作B'F⊥x轴，垂足为F，

∵S△OBC＝S△OB'C′，

由一次函数y＝x+5可知B（﹣5，0），

∴OB•CE＝OC'•B'F，

即5×4＝B'F，

∴B'F＝，

在Rt△OB'F中，

∵OF＝＝＝，

∴B'的坐标为（，），

∵×≠6，

∴点B'不在函数y＝的图象上．

2．如图，已知一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．

（1）请直接写出不等式﹣x+n≤的解集；

（2）求反比例函数和一次函数的解析式；

（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接BC，求△ABC的面积．

解：

（1）由图象可知：

不等式﹣x+n≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥4；

（2）∵一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．

∴k＝4×（﹣2）＝﹣2m，﹣2＝﹣4+n

解得m＝4，k＝﹣8，n＝2，

∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣，y＝﹣x+2；

（3）S△ABC＝＝6．

3．如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点M，连接OB，求△OBM的面积；

（3）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，请直接写出点P的坐标．

解：

（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：

a＝﹣1

∴B（﹣1，﹣4）

将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：

k＝4

∴反比例函数的表达式为y＝；

（2）由一次函数y＝x﹣3可知：

M（3，0），

∴OM＝3，

∵B（﹣1，﹣4），

∴△OBM的面积：

＝6'

（3）解得或，

∴A（4，1）

如图：

设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）

∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m

∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3

解得：

m＝5或﹣2或1或2

∵点P不与点A重合，且A（4，1）

∴m≠4

又∵m＞0

∴m＝5或1或2

∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AB与反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C、点D，其中点C的坐标为（1，8），点D的坐标为（4，n）．

（1）分别求m、n的值；

（2）连接OD，求△ADO的面积．

解：

（1）∵反比例函数y＝（m＞0）在第一象限的图象交于点C（1，8），

∴8＝，

∴m＝8，

∴函数解析式为y＝，

将D（4，n）代入y＝得，n＝＝2．

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意得，

解得，

∴直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+10，

令x＝0，则y＝10，

∴A（0，10），

∴△ADO的面积＝＝20．

5．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；

（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．

解：

∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，

∴m＝2×（﹣4）＝﹣8，

∴反比例函数解析式为：

y＝﹣，

把A（﹣4，n）代入y＝﹣，

得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，

则A点坐标为（﹣4，2）．

把A（﹣4，2），B（2，﹣4）分别代入y＝kx+b，

得，解得，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；

（2）∵y＝﹣x﹣2，

∴当﹣x﹣2＝0时，x＝﹣2，

∴点C的坐标为：

（﹣2，0），

△AOB的面积＝△AOC的面积+△COB的面积

＝×2×2+×2×4

＝6；

（3）由图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．

6．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+1（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、D两点，AB⊥x轴于点B，tan∠AOB＝，OB＝2．

（1）求比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOD的面积．

解：

（1）∵tan∠AOB＝＝，OB＝2，

∴设AB＝3，

∴A的坐标是（2，3），

把A的坐标代入y＝得：

k＝6，

∴反比例函数的解析式是：

y＝，

把A的坐标代入y＝ax+1得：

3＝2a+1得：

a＝1，

∴一次函数的解析式是：

y＝x+1；

（2）解方程组，得：

或，

∵A（2，3），

∴D（﹣3，﹣2）．

把y＝0代入y＝x+1得：

0＝x+1，解得x＝﹣1，

∴OC＝1，

∴S△AOD＝S△AOD+S△DOC

＝×1×3+×1×2

＝．

7．如图，在平面直角坐标系中，双曲线l：

y＝（x＞0）过点A（a，b），B（2，1）（0＜a＜2）；过点A作AC⊥x轴，垂足为C．

（1）求l的解析式；

（2）当△ABC的面积为2时，求点A的坐标；

（3）点P为l上一段曲线AB（包括A，B两点）的动点，直线l1：

y＝mx+1过点P；在

（2）的条件下，若y＝mx+1具有y随x增大而增大的特点，请直接写出m的取值范围．（不必说明理由）

解：

（1）将B（2，1）代入得：

k＝2，

∴反比例解析式为；

（2）∵A（a，b）在反比例函数上，

∴，

∵S△ABC＝＝2，

即＝2，

∴b＝3，

∴A的坐标为；

（3）∵直线l1：

y＝mx+1过点P，点P为l上一段曲线AB（包括A，B两点）的动点，

∴当点P与A重合时，

把（，3）代入y＝mx+1得，m＝3，

∵y＝mx+1具有y随x增大而增大，

∴m＞0，

∴m的取值范围0＜m≤3．

8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠BAO＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A．

（1）求∠AOB的度数；

（2）若OA＝，求点A的坐标；

（3）若S△ABO＝，求反比例函数的解析式．

解

（1）∵AB＝BO，

∴∠AOB＝∠BAO＝30°；

（2）过点A作AC⊥x轴于C，

∵∠AOB＝30°，

∴AC＝OA＝＝，OC＝OA＝×＝6，

∴A（﹣6，）；

（3）设OB＝AB＝m，

∵∠AOB＝∠BAO＝30°，

∴∠ABC＝∠AOB+∠BAO＝60°，

在直角三角形ACB中得出AC＝，

∵S△ABO＝，

∴m＝，

∴m＝2，

∴AC＝＝，

∵BC＝AB＝＝1，

∴OC＝BC+OB＝1+2＝3，

∴A（﹣3，），

把A点坐标代入y＝（x＜0）得，＝，

解得k＝﹣3

∴反比例函数的解析式为．

9．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（1，n）；

（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出不等式kx+b≥的解集．

解：

（1）把点A的坐标（﹣2，1）代入一反比例函数y＝，可得：

m＝﹣2×1＝﹣2，

∴反比例函数为y＝﹣，

∵反比例函数y＝的图象经过B点，

∴n＝﹣＝﹣2，

∴B（1，﹣2），

把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入y＝kx+b得

解得k＝﹣1，b＝﹣1

∴一次函数为y＝﹣x﹣1；

（2）在直线y＝﹣x﹣1中，令x＝0，则y＝﹣1，

∴C（0，﹣1），即OC＝1，

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC×2+OC×1＝×1×（2+1）＝；

（3）不等式kx+b≥的解集是x≤﹣2或0＜x≤1．

10．一次函数y＝ax+b（a≠0的图象与双曲线（k≠0）相交于A（m，2）和B（2，﹣1）两点与x轴相交于点C，过点B作BD⊥x轴，垂足为点D．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出不等式ax+b﹣＞0的解集．

（3）连接AD，则△ABD的面积为　　．

解：

（1）∵双曲线（k≠0）经过B（2，﹣1），

∴k＝2×（﹣1）＝﹣2，

∴双曲线为y＝﹣，

把A（m，2）代入得，2＝﹣，

解得m＝﹣1，

∴A（﹣1，2），

把A、B的坐标代入y＝ax+b得，

解得：

，

∴一次函数解析式为：

y＝﹣x+1；

（2）不等式ax+b﹣＞0的解集为：

x＜﹣1或0＜x＜2；

（3）S△ABD＝×1×（2+1）＝，

故答案为．

11．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m，4）、B（2，﹣6）两点，过A作AC⊥x轴交于点C，连接OA．

（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；

（2）若直线AB上有一点M，连接MC，且满足S△AMC＝3S△AOC，求点M的坐标．

解：

（1）将点B（2，﹣6）代入，得：

k＝2×（﹣6）＝﹣12，

则反比例函数解析式为y＝﹣．

∵反比例函数的图象过A（m，4），

∴4＝﹣，∴m＝﹣3，

∴A（﹣3，4），

将点A（﹣3，4）、B（2，﹣6）代入y＝kx+b，

得：

，解得：

，

则一次函数解析式为y＝﹣2x﹣2；

（2）设点M的坐标为（m，﹣2m﹣2），过M作ME⊥AC于E．

∵y＝﹣，

∴S△AOC＝×|﹣12|＝6，

∴S△AMC＝3S△AOC＝18，

∴AC•ME＝×4×|m+3|＝18，

解得m＝6或﹣12．

当m＝6时，﹣2m﹣2＝﹣14；

当m＝﹣12时，﹣2m﹣2＝22，

∴点M的坐标为（6，﹣14）或（﹣12，22）．

12．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直线y＝﹣3x﹣4与反比例函数y＝交于点A，交y轴于C点．

（1）求k的值；

（2）点D与点O关于AB对称，连接AD、CD，证明△ACD是直角三角形；

（3）在

（2）的条件下，点E在反比例函数图象上，若S△OCE＝S△OCD，求点E的坐标．

解：

（1）设点B的坐标为（a，0），

∵∠ABO＝90°，AB＝BO，

∴点A的坐标为（a，﹣a），

∵点A在直线y＝﹣3x﹣4上，

∴﹣a＝﹣3a﹣4，

解得，a＝﹣2，即点A的坐标为（﹣2，2），

∵点A在反比例函数y＝上，

∴k＝﹣4；

（2）∵点D与点O关于AB对称，

∴点D的坐标为（﹣4，0）

∴OD＝4，

∴DB＝BA＝2，

则∠ADB＝45°，

∵直线y＝﹣3x﹣4交y轴于C点，

∴点C的坐标为（0，﹣4），

∴OD＝OC，

∴∠ODC＝45°，

∴∠ADC＝