吉安市中考数学试题与答案.docx
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吉安市中考数学试题与答案
2018年吉安市中考数学模拟试题与答案
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）
1．计算（﹣20）+18的结果是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣2018D．2018
2．为推进某市经济社会转型，2017年9月26日，该市举办了主题为“转型发展•灵秀湖某市”的园博会．据悉，举办该会总共投资了7.65亿元．其中7.65亿元用科学记数法表示是（ ）
A．7.65×108B．76.5×107C．0.765×109D．765×106
3．下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10B．a3•a3=a9C．（3a3）3=9a9D．a12÷a3=a9
5．由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（ ）
A．1元B．2元C．3元D．4元
7．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165°B．120°C．150°D．135°
8．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ）
A．x0＞﹣5B．x0＞﹣1C．﹣5＜x0＜﹣1D．﹣2＜x0＜3
9．如图，从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A、B、C在圆周上，
将剪下的扇形作为一个圆锥侧面，如果圆锥的高为3cm，则这块圆形纸片的直径为（ ）
A．12cmB．20cmC．24cmD．28cm
10．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：
①b2﹣4ac＞0；②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；③x1＜x0＜x2
④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，
其中正确的有（ ）
A．①②B．①②④C．①②⑤D．①②④⑤
二、填空题（本题共5题，每小题5分，共25分）
11．分解因式2x2﹣= ．
12．若一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个相等实数根，则k的值是 ．
13．某班组织了一次读书活动，统计了16名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这16名同学一周内累计读书时间的中位数是 ．
一周内累计的读书时间（小时）
5
8
10
14
人数（个）
1
7
5
3
14．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为 ．
15．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题
（一）（本题共3题，每小题7分，共21分）
16．计算：
|﹣5|+2cos30°+（）﹣1+（9﹣）0+．
17．先化简，再求值：
（﹣x﹣1）÷，其中x=，y=．
18．求不等式组的整数解．
四、解答题
（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
19．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图1；
（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？
20．如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD于点E，连接OA、OE．
（1）求证：
AO⊥EO；
（2）如图2，连接DF并延长交BC于点M，求的值．
21．如图，点A为函数图象上一点，连结OA，交函数的图象于点
B，点C是x轴上一点，且AO=AC，求△ABC的面积．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？
若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：
BN=HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．
23．如图，已知直线l：
y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A点、B点，双曲线C：
y=（x＞0）．
（1）当k=﹣1，b=2时，求直线l与双曲线C公共点的坐标；
（2）当b=2时，求证：
不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）．
（3）①在
（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；
②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2，猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）
1.A2.A3.B4.D5.C6.B7.A8.B9.B10.B
二、填空题（本题共5题，每小题5分，共25分）
11.（2x+1）（2x﹣1）12.13.914.215.﹣2＜k＜
三、解答题
（一）（本题共3题，每小题7分，共21分）
16.解：
原式=
=11．
17.解：
（﹣x﹣1）÷
=•
=﹣•
=﹣
把代入得原式==﹣1．
18.解：
解不等式①得x≤3；
解不等式②得x≥；
∴不等式组的解集为：
≤x≤3；
∴不等式组的整数解是3
四、解答题
（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
19.解：
（1）这次调查的家长人数为80÷20%=400人，反对人数是：
400﹣40﹣80=280人，
；
（2）360°×=36°；
（3）反对中学生带手机的大约有6500×=4550（名）．
20.
（1）证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，
∴AB和CD为⊙O的切线，
∵AE切半圆于点F，
∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，
而AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC=180°，
∴∠OAE+∠OEA=90°，
∴∠AOE=90°，
∴OA⊥OE；
（2）解：
作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，
则AF=AB=4a，OB=OC=2a，
∵∠AOE=90°，
∴∠AOB+∠COE=90°，
∵∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EOC，
∴Rt△ABO∽Rt△OCE，
∴AB：
OC=OB：
CE，即4a：
2a=2a：
CE，解得CE=a，
∴EF=EC=a，
∴EA=5a，ED=3a，
∵FH∥AD，
∴△EFH∽△EAD，
∴==，即==，
∴FH=a，EH=a，
∴DH=3a﹣a=a，
∴CH=4a﹣a=a，
∵FH∥CM，
∴==．
21.解：
设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），
∵点C是x轴上一点，且AO=AC，
∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：
y=kx，
∴=ak，
解得，k=，
又∵点B（b，）在y=x上，
∴=•b，解得，=3或=﹣3（舍去），
∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC=﹣=18﹣6=12．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
22.
（1）解：
存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；
当点M与点C重合时，AB=BM，则△ABM为等腰三角形；
当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形；
当点M在AC上，且AM=BM时，AM=AC=×2=时，则△ABM为等腰三角形；
当点M为CG的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；
（2）证明：
在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AB=AD，
∴∠CDG=90°，
∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN，
∴BK=DN，
∵DH平分∠CDG，
∴∠CDH=45°，
∴∠NDH=90°+45°=135°，
∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°，
∴∠BKN=∠NDH，
在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，
又∵BN⊥NH，
即∠BNH=90°，
∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°，
∴∠ABN=∠DNH，
在△BNK和△NHD中，
，
∴△BNK≌△NHD（ASA），
∴BN=NH；
（3）解：
①当M在AC上时，即0＜t≤2时，△AMF为等腰直角三角形，
∵AM=t，
∴AF=FM=t，
∴S=AF•FM=×t×t=t2；
当t=2时，S的最大值=×
（2）2=2；
②当M在CG上时，即2＜t＜4时，如图2所示：
CM=t﹣AC=t﹣2，MG=4﹣t，
在△ACD和△GCD中，
，
∴△ACD≌△GCD（SAS），
∴∠ACD=∠GCD=45°，
∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°，
∴∠G=90°﹣∠GCD=45°，
∴△MFG为等腰直角三角形，
∴FG=MG•cos45°=（4﹣t）•=4﹣t，
∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG=×4×2﹣×CM×CM﹣×FG×FG
=4﹣（t﹣2）2﹣（4﹣）2=﹣+4t﹣8
=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，S的最大值为．
23.解：
（1）联立l与C得，
①﹣②，得﹣x+2﹣=0
化简，得x2﹣2x+3=0
解得x1=x2=，y1=y2=，
直线l与双曲线C公共点的坐标为（，）；
（2）证明：
联立l与C得，
①﹣②，得
kx+2﹣=0，
化简，得
kx2+2x﹣3=0，
a=k，b=2，c=﹣3，
△=b2﹣4ac=
（2）2﹣4k×（﹣3）=12k﹣12k=0，
∴kx2+2x﹣3=0只有相等两实根，即不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个公共点；
x=﹣，y=，
即P（﹣，）
（3）①PA=PB，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），
P（﹣，），
PA=，
PB=，
∴PA=PB．
②P1A=P2B，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）；
当y=0时，x=﹣，即B（﹣，0），
联立l与C得，
①﹣②，得
kx+b﹣=0，
化简，得
kx2+bx﹣3=0，
解得P1（，）P2（，）
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