线性代数期末考试试卷+答案合集_精品文档文档格式.doc

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2.维向量组（3£

s£

n）线性无关的充要条件是（）。

①中任意两个向量都线性无关

②中存在一个向量不能用其余向量线性表示

③中任一个向量都不能用其余向量线性表示

④中不含零向量

3.下列命题中正确的是（）。

①任意个维向量线性相关

②任意个维向量线性无关

③任意个维向量线性相关

④任意个维向量线性无关

4.设，均为n阶方阵，下面结论正确的是（）。

①若，均可逆，则可逆 ②若，均可逆，则可逆

③若可逆，则可逆 ④若可逆，则，均可逆

5.若是线性方程组的基础解系，则是的（）

①解向量 ②基础解系 ③通解 ④A的行向量

四、计算题（每小题9分，共63分）

1.计算行列式。

解·

2.设，且求。

解.，

3.设且矩阵满足关系式求。

4.问取何值时，下列向量组线性相关？

。

5.为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？

当方程组有无穷多解时求其通解。

①当且时，方程组有唯一解；

②当时方程组无解

③当时，有无穷多组解，通解为

6.设求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7.设，求的特征值及对应的特征向量。

五、证明题（7分）

若是阶方阵，且证明。

其中为单位矩阵。

大学线性代数期末考试题答案

一、填空题

1.5 2. 3. 4.相关

5.

二、判断正误

1.×

2.√ 3.√ 4.√ 5.×

三、单项选择题

1.③ 2.③ 3.③ 4.② 5.①

四、计算题

1.

2.

，

3.

4.

当或时，向量组线性相关。

5.

6.

则，其中构成极大无关组，

7.

特征值，对于λ1＝1，，特征向量为

五、证明题

∴，∵

一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（）

（A）或;

（B）；

（C）或;

（D）。

2、和均为阶矩阵，且，则必有（）

（A）；

（B）；

（C）.（D）。

3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（）

（A）的列向量线性无关；

（B）的列向量线性相关；

（C）的行向量线性无关；

（D）的行向量线性相关.

4、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（）

（A）的秩小于；

（B）；

（C）的特征值都等于零；

（D）的特征值都不等于零；

二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）

5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则=。

6、为阶矩阵，且，则。

7、已知方程组无解，则。

8、二次型是正定的，则的取值范围是。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）

9、计算行列式

10、计算阶行列式

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。

写出证明过程）

11、若向量组线性相关，向量组线性无关。

证明：

（1）能有线性表出；

（2）不能由线性表出。

12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。

证明

（1）；

（2）。

五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。

解答应写出文字说明或演算步骤）

13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。

14、已知方程组与方程组有公共解。

求的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向量，且

，

求该方程组的通解。

解答和评分标准

一、选择题

1、C；

2、D；

3、A；

4、A。

二、填空题

5、-125;

6、；

7、-1；

8、。

三、计算题

9、解：

第一行减第二行，第三行减第四行得：

第二列减第一列，第四列减第三列得：

（4分）

按第一行展开得

按第三列展开得

（4分）

10、解：

把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式

（4分）

四、证明题

11、证明：

（1）、因为线性无关，所以线性无关。

又线性相关，故能由线性表出。

（4分）

（2）、（反正法）若不，则能由线性表出，

不妨设。

由

（1）知，能由线性表出，

所以，

这表明线性相关，矛盾。

12、证明

（1）

（4分）

（2）

由

（1）得：

，代入上式得

（4分）

五、解答题

13、解：

（1）由得的特征值为，，。

（4分）

（2）的特征向量为，

的特征向量为，

的特征向量为。

（3分）

（3）因为特征值不相等，则正交。

（2分）

（4）将单位化得，，（2分）

（5）取

（6）（1分）

14、解：

该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为

因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。

（5分）

另一方面，记向量，则

直接计算得，就是它的一个基础解系。

根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为

，。

（7分）

15、解：

将①与②联立得非齐次线性方程组:

若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.

对③的增广矩阵作初等行变换得:

.（4分）

1°

当时，有，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解，此时

则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:

所以①与②的全部公共解为，k为任意常数.（4分）

2°

当时，有，方程组③有唯一解,此时

故方程组③的解为:

即①与②有唯一公共解.（4分）

线性代数习题和答案

好东西

第一部分选择题（共28分）

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式=m，=n，则行列式等于（）

A.m+n B.-（m+n）

C.n-m D.m-n

2.设矩阵A=，则A-1等于（）

A. B.

C. D.

3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（）

A.–6 B.6

C.2 D.–2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A.A=0 B.BC时A=0

C.A0时B=C D.|A|0时B=C

5.已知3×

4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）

A.1 B.2

C.3 D.4

6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中（）

A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）

A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

A.秩（A）<

n B.秩（A）=n-1

C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解

10.设A是一个n（≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使（λE-A）α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）

A.k