121 绝对值的性质及化简1讲义教师版.docx

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121绝对值的性质及化简1讲义教师版

中考要求

内容

基本要求

略高要求

较高要求

绝对值

借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值

会利用绝对值的知识解决简单的化简问题

例题精讲

绝对值的几何意义：

一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.

绝对值的代数意义：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

注意：

①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.

②绝对值的性质：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.

③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成：

符号和它的绝对值，如：

符号是负号，绝对值是.

求字母的绝对值：

①②③

利用绝对值比较两个负有理数的大小：

两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性：

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：

若，则，，

绝对值的其它重要性质：

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；

（2）若，则或；

（3）；；

（4）；

（5），

对于，等号当且仅当、同号或、中至少有一个时，等号成立；

对于，等号当且仅当、异号或、中至少有一个时，等号成立．

绝对值几何意义

当时，，此时是的零点值．

零点分段讨论的一般步骤：

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．

的几何意义：

在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

的几何意义：

在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离．

一、绝对值的概念

【例1】⑴的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．

的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；（，，）；

⑵的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；则；

⑶的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若，则．

⑷的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若，则

．

【考点】绝对值的概念

【难度】1星

【题型】填空

【关键词】数形结合

【解析】略

【答案】⑴，原点；；⑵1；⑶，，或；⑷，，或

二、绝对值的性质

【例2】填空：

若，则，满足的关系．

【考点】绝对值的性质

【难度】2星

【题型】填空

【关键词】

【解析】略．

【答案】

【巩固】填空：

若，则，满足的关系．

【考点】绝对值的性质

【难度】3星

【题型】填空

【关键词】

【解析】略

【答案】且．

【例3】填空：

已知、是有理数，，，且，则．

【考点】绝对值的性质

【难度】4星

【题型】填空

【关键词】

【解析】由，，，或，故．

【答案】

【巩固】若，则下列结论正确的是（　）

A.B.C.D.

【考点】绝对值的性质

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】

【解析】答案不完善，选择．

【答案】

【例4】下列各组判断中，正确的是（）

A．若，则一定有B．若，则一定有

C.若，则一定有D．若，则一定有

【考点】绝对值的性质

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】

【解析】略

【答案】D

【例5】如果＞，则（）

A．　B．＞　C．　　D＜

【考点】绝对值的性质

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】

【解析】略

【答案】B

【例6】（4级）若且，则下列说法正确的是（）

A．一定是正数B．一定是负数C．一定是正数D．一定是负数

【考点】绝对值的性质

【难度】

【题型】

【关键词】

【解析】由分析可知中的较小数一定是负数，故选D

【答案】D

【巩固】下列式子中正确的是（）

A．B．C．D．

【考点】绝对值的性质

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】分类讨论

【解析】我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、，种数帮助找到准确答案．易得答案为D．

【答案】D

【例7】对于，下列结论正确的是（）

A．B．C．D．

【考点】绝对值的性质

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】

【解析】我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、，种数帮助找到准确答案．

【答案】C

【例8】已知，求的取值范围

【考点】绝对值的性质

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】

【解析】因为的绝对值等于它的相反数，所以，即

【答案】

【例9】下列说法中正确的个数是（）

①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；

②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；

③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；

④只有负数的绝对值等于它的相反数．

A．0B．1C．2D．3

【考点】绝对值的性质

【难度】3星

【题型】选择

【关键词】第16届希望杯培训试题

【解析】4个全错，选择A；

【答案】A

【例10】绝对值等于的整数有个，绝对值小于的整数有个

【考点】绝对值的性质

【难度】2星

【题型】填空

【关键词】

【解析】略

【答案】；个

【例11】绝对值小于的整数有哪些？

它们的和为多少？

【考点】绝对值的性质

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】

【解析】略．

【答案】绝对值小于的整数有，，，，和为．

【例12】已知：

，且；则.

【考点】绝对值的性质

【难度】2星

【题型】

【关键词】

【解析】因为

因为

又因为，所以

【答案】

【巩固】非零整数满足，所有这样的整数组共有

【考点】绝对值的性质

【难度】3星

【题型】填空

【关键词】2005年，江苏省数学文化节基础闯关试题

【解析】略

【答案】16

【例13】已知且，那么

【考点】绝对值的性质

【难度】3星

【题型】填空

【关键词】北京市迎春杯竞赛试题

【解析】略

【答案】或

【例14】如右图所示，若的绝对值是的绝对值的倍，则数轴的原点在点．（填“”“”“”或“”）

【考点】绝对值的性质

【难度】4星

【题型】

【关键词】第届希望杯试

【解析】因为的绝对值是的绝对值的倍，且，

当时，由，得原点的坐标在点处；

当时，由，得原点的坐标在点处；

当时，由，满足条件的点不存在；

综上，知坐标原点在或．

【解答】坐标原点在或．

【例15】如果，，，求的值．

【考点】绝对值的性质

【难度】6星

【题型】解答

【关键词】20年，北京市中学生数学竞赛，第届希望杯培训试题

【解析】（法1）：

可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值的几何意义出发．根据，，，我们可以得到、、三点在数轴上从左到右依次是、、或、、，我们会发现在这两种情况下，，同号，所以．

（法2）：

我们发现

所以、同号，所以有（两式相加可得）

或（两式相加可得），

综合上述两种情况，我们可以得到．

【解答】

【例16】已知、、、都是整数，且，则           ．

【考点】绝对值的性质

【难度】4星

【题型】填空

【关键词】15希望杯1试，北京市数学竞赛

【解析】法1：

四个非负整数和为，只可能为、或．讨论：

①当，，，，满足条件，；

②当，，，，满足条件，；

③若，即且，，，∴，

，，故，这与矛盾．所以，或．

法2：

我们希望利用绝对值的几何意义出发解答问题，所以需要对题干进行适当变形

，那么题目相当于：

（渗入换元思想）

已知、、、都是整数，且，则．

因为、、、都是整数，所以可能为、、

（以下过程教师均须借助数轴讲解）

若，那么、、均为，但，、为，

得为，矛盾，所以；

若，当、相同，、相同时，成立；

若，当、、相同时，成立；

所以或．

【解答】或．

【例17】已知、、、是有理数，，，且

，则．

【考点】绝对值的性质

【难度】5星

【题型】填空

【关键词】第14届“希望杯”试题

【解析】∵，∴，，∴．

【答案】7

【巩固】有理数、、、各自对应着数轴上、、、四个点，且

（1）比，、、、都大；

（2）；

（3）是、、、中第二大的数.则点、、、从左到右依次是

【考点】绝对值的性质

【难度】5

【题型】填空

【关键词】

【解析】略.

【解答】、、、。

【例18】If,,,and,then．

【考点】绝对值的性质

【难度】6星

【题型】填空

【关键词】第届希望杯试

【解析】，

所以,,，.

【答案】

【例19】如果那么。

【考点】绝对值的性质

【难度】6星

【题型】填空

【关键词】北京市初中一年级“迎春杯”数学竞赛题

【解析】由知，从而即.从而代入得则.

【答案】

【例20】若是方程的解，则等于（）．

A．B．C．D．

【考点】绝对值的性质

【难度】4星

【题型】选择

【关键词】第届希望杯培训试题

【解析】由绝对值的定义，知，又，所以，即．

因为是方程的解，所以，

因此，，故选D．

【答案】D

【例21】已知，求的值.

【考点】绝对值的性质

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】

【解析】

【答案】0

【例22】已知、是有理数，有以下三个不等式：

①；②；③．

其中一定不成立的是______（填写序号）．

【考点】绝对值的性质

【难度】5星

【题型】填空

【关键词】第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛

【解析】提示：

当，时，①③成立；．选②．

【答案】②．

课后练习

1.若，求的取值范围．

【考点】绝对值的性质

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】年，江苏省竞赛题

【解析】，所以，即．

【答案】

2.有理数与满足，则下面哪个答案正确（　）

A．B．C．D．无法确定

【考点】绝对值的性质

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】

【解析】略．

【答案】D

3.若为互不相等的有理数，且最小，最大，且．请按从小到大的顺序排列．

【考点】绝对值的性质

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】

【解析】表示之间的距离，表示之间的距离，且最小，最大，则，原式进而可以化简为：

，结合数轴易得．

【答案】

4.如果有理数，，满足，，，求的值．

【考点】绝对值的性质

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】

【解析】，所以上式中所有的等号都应取到，即．

【答案】13