时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
（2）当Δ＝0，即m＝±3
时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
（3）当Δ<0，即m<－3
或m>3
时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法
（1）研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
（2）对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
题型二 弦长及弦中点问题
命题点1 弦长问题
典例斜率为1的直线l与椭圆
＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B.
C.
D.
答案 C
解析 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
直线l的方程为y＝x＋t，
由
消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，
则x1＋x2＝－
t，x1x2＝
.
∴|AB|＝
|x1－x2|
＝
·
＝
·
＝
·
，
当t＝0时，|AB|max＝
.
命题点2 弦中点问题
典例已知椭圆E：
＋
＝1（a>b>0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（ ）
A.
＋
＝1B.
＋
＝1
C.
＋
＝1D.
＋
＝1
答案 D
解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以
运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝
，
设直线方程为y＝
（x－3），
联立直线与椭圆的方程得
（a2＋b2）x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝
＝2，
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
命题点3 椭圆与向量等知识的综合
典例（优质试题·沈阳质检）已知椭圆C：
＋
＝1（a>b>0），e＝
，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为
，且
＝λ
（其中λ>1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求实数λ的值．
解
（1）由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝
，∴a＝2，
故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程为
＋
＝1.
（2）由
＝λ
，可知A，B，F三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；
当AB所在直线l的斜率k存在时，
设l的方程为y＝k（x－1）．
由
消去y得
（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
①的判别式Δ＝64k4－4（4k2＋3）（4k2－12）
＝144（k2＋1）>0.
∵
∴x1＋x2＝
＝2×
＝
，∴k2＝
.
将k2＝
代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝
.
又
＝（1－x1，－y1），
＝（x2－1，y2），
＝λ
，
即1－x1＝λ（x2－1），λ＝
，又λ>1，
∴λ＝
.
思维升华
（1）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
（2）设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝
＝
（k为直线斜率）．
（3）利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
跟踪训练（优质试题·长春调研）已知椭圆
＋
＝1（a>b>0）的一个顶点为B（0，4），离心率e＝
，直线l交椭圆于M，N两点．
（1）若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
解
（1）由已知得b＝4，且
＝
，
即
＝
，∴
＝
，
解得a2＝20，∴椭圆方程为
＋
＝1.
将4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝
，
∴所求弦长|MN|＝
|x2－x1|＝
.
（2）
椭圆右焦点F的坐标为（2,0），
设线段MN的中点为
Q（x0，y0），
由三角形重心的性质知
＝2
，
又B（0,4），∴（2，－4）＝2（x0－2，y0），
即
故得x0＝3，y0＝－2，
即Q的坐标为（3，－2）．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且
＋
＝1，
＋
＝1，
以上两式相减得
＋
＝0，
∴kMN＝
＝－
·
＝－
×
＝
，
故直线MN的方程为y＋2＝
（x－3），
即6x－5y－28＝0.
高考中求椭圆的离心率问题
考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：
一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
典例1已知椭圆E：
＋
＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：
3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于
，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析
设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M（0，b），则M到直线l的距离d＝
≥
，
∴1≤b＜2.
离心率e＝
＝
＝
＝
∈
，
故选A.
答案 A
典例2（12分）（优质试题·浙江）
如图，设椭圆方程为
＋y2＝1（a＞1）．
（1）求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）；
（2）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
规范解答
解
（1）设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，
由
得（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0，[2分]
故x1＝0，x2＝－
，
因此|AM|＝
|x1－x2|＝
·
.[4分]
（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，
且k1>0，k2＞0，k1≠k2.[5分]
由
（1）知|AP|＝
，
|AQ|＝
，
故
＝
，
所以（k
－k
）[1＋k
＋k
＋a2（2－a2）k
k
]＝0.[7分]
由k1≠k2，k1>0，k2＞0得1＋k
＋k
＋a2（2－a2）k
k
＝0，
因此
＝1＋a2（a2－2），①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2（a2－2）＞1，所以a＞
.
因此，任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤
，[10分]
由e＝
＝
＝
，得0.
所以离心率的取值范围是
.[12分]
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：
x2＋y2＝4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆
＋
＝1的交点个数是（ ）
A．至多为1B．2
C．1D．0
答案 B
解析 由题意知，
>2，即
<2，
∴点P（m，n）在椭圆
＋
＝1的内部，故所求交点个数是2.
2．过椭圆
＋
＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为（1,0），则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立
解得交点坐标为（0，－2），
，
不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝
，
∴S△OAB＝
·|OF|·|yA－yB|
＝
×1×
＝
，
故选B.
3．已知椭圆
＋
＝1（a>b>0）的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M
（－4,1），则椭圆的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设直线与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程，
由点差法可知yM＝－
xM，代入k＝1，M（－4，1），解得
＝
，e＝
＝
，
故选C.
4．已知F1（－1,0），F2（1,0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（ ）
A.
＋y2＝1B.
＋
＝1
C.
＋
＝1D.
＋
＝1
答案 C
解析 设椭圆C的方程为
＋
＝1（a>b>0），则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以
＝
，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为
＋
＝1.
5．从椭圆
＋
＝1（a>b>0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意可设P（－c，y0）（c为半焦距），
kOP＝－
，kAB＝－
，由于OP∥AB，
∴－
＝－
，y0＝
，
把P
代入椭圆方程得
＋
＝1，
∴
2＝
，∴e＝
＝
.故选C.
6．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析
由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，
∴
＝2，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝
，|PF2|＝
.
根据勾股定理得
2＋
2＝（2c）2，
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