直线与椭圆.docx

1、直线与椭圆直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系1若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm0C0m5且m1 Dm1且m5答案D解析方法一由于直线ykx1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，m1且m5.2已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不

2、同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点题型二弦长及弦中点问题命题点1弦长问题典例 斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(

3、)A2 B. C. D. 答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.命题点2弦中点问题典例 已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A. 1 B. 1C. 1 D. 1答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k，设直线方程为y (x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22，

4、又因为a2b29，解得b29，a218.命题点3椭圆与向量等知识的综合典例 (优质试题沈阳质检)已知椭圆C：1(ab0)，e，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且 (其中1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值解(1)由椭圆的焦距为2，知c1，又e，a2，故b2a2c23，椭圆C的标准方程为1.(2)由，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)若直线ABx轴，则x1x21，不符合题意；当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为yk(x1)由消去y得(34k2)x28k2x4k2120.的判别式64k44(4k23

5、)(4k212)144(k21)0.x1x22，k2.将k2代入方程，得4x22x110，解得x.又(1x1，y1)，(x21，y2)，即1x1(x21)，又1，.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率)(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式跟踪训练 (优质试题长春调研)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e，直线

6、l交椭圆于M，N两点(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长；(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.将4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦长|MN|x2x1|.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，即故得x03，y02，即Q的坐标为(3，2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kMN，故直线MN的方程为y2 (x

7、3)，即6x5y280.高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法典例1 已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B. C. D. 解析设左

8、焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则M到直线l的距离d，1b2.离心率e，故选A.答案A典例2 (12分)(优质试题浙江)如图，设椭圆方程为y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围规范解答解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM，由得(1a2k2)x22a2kx0，2分故x10，x2，因此|AM|x1x2|.4分(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，

9、Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k10，k20，k1k2.5分由(1)知|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.7分由k1k2，k10，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，10分由e，得02，即b0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是()A. B. C. D. 答案C解析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别

10、代入椭圆方程，由点差法可知yMxM，代入k1，M(4，1)，解得，e，故选C.4已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A. y21 B. 1C. 1 D. 1答案C解析设椭圆C的方程为1(ab0)，则c1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.5从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D. 答案C解析由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入椭圆方程得1，2，e.故选C.6已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()A. B. C. D. 答案A解析由题意可知，F1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|.根据勾股定理得22(2c)2，