实变函数复习资料带答案doc.docx

实变函数复习资料带答案doc.docx

《实变函数复习资料带答案doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数复习资料带答案doc.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

实变函数复习资料带答案doc

《实变函数

试卷一

一、单项选择题（3分X5=15分）

1、下列各式正确的是（）

oooooooo

（A）limA=unA;（B）limA=nuA;

n—h=1k=n，?

一z?

=lk=n

00000000

（C）limA"=nu;（D）lim=Ak;

打一＞ooz:

=lk=nz?

=lk=n

2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（）

（A）~P=c（B）mP=0（C）P=P（D）P=P

3、下列说法不正确的是（）

（A）凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测（C）开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测

4、设以（4是£上的e有限的可测函数列，则下而不成立的

是（）（A）若又（x）=>/（x）,则又（x）+/（x）（B）

sup{/„Cr）}是可测函数（Oinf{//%）}是可测函数；（D）若

/TH

又⑺=>/U），则/（X）可测

5、设f（X）是上有界变差函数，则卜*面不成立的是

（）（A）/（X）在［6Z，/7］上有界（B）/（X）在［6/，刎上儿

乎处处存在导数

cb

（C）/（X）在上L可积（D）Jaf\x）cbc=f（b）-f（a）

2.填空题（3分X5=15分）

1、（CsAuCv5）n（A-（A-B））=

2、设£是［0，1］上有理点全体，则

E-,E-,E-.

3、设£是/?

。

中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的

4、/⑶可测的条件是它可以表成一列简单函数的极

限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设/（x）为上的有限函数，如果对于的一切分划，

使，则称/（x）为

［6Z，/7］上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?

若成立，则证明之;若不成立，则举反例说明.（5分X4=20分）1、设Ec/?

1,若万是稠密集，则C£是无处稠密集。

2、若mE=O,则£一定是可数集.

3、若|/（x）|是可测函数，则/（x）必是可测函数

4、设7Xx）在可测集£上可积分，若\/^£，/0）〉0，贝^

四、解答题（8分X2=16分）.

了，则/（x）在［0，1］上是否/?

-

U，x为南理数

可积，是否L-可积，若可积，求出积分值。

ln（x+n）

2、（6分）设/（X）是（-oo，+oo；）上的实值连续函数，则对于任意

一、1.C2D3.B4.A5.D

二、1.02、[0,1]；0；[0,1]3,

mT-m（Tn£）+m'（TnCE）

4、充要5、ip，⑷-，（么叫成一有界数集。

三、1.错误2分例如：

设£是［0，1］上有理点全体，则£和（?

£都在丨0，1］中稠密5分

2.错误2分例如：

设£是0/*厂集，则m£=0,但£=（:

故

其为不可数集5分

3.错误例如：

设£是卜，^上的不可测集，

则l/W|是h，/7］上的可测函数，但/（X）不是［以］上的可测函数…

4.错误m£=0时，对E上任意的实函数/⑺都有］7（%咏=0

E

四、1./⑴在［0，1］上不是/?

-可积的，因为/Cr）仅在x=l处

常数61，£={%|/（；1）^}是闭集。

3、（6分）在上的任一有界变差函数/（幻都可以表示为两个增函数之差。

/•U）二

X,XE£;

-x,xe[a,b]-E;

4、（6分）设772£<00，/（幻在£上可积,A=£（1/1^7），贝IJlimz?

-men=0.

n

fc5、（10分）设/（幻是£上^.有限的函数，若对任意5〉0，

存在闭子集^c£,使/（x）在^上连续，且

证明：

/（幻是£上的可测函数。

（兽津定理的逆定理

题瞥（参考答案及评分标准）

连续，即不连续点为正测度集……..3分因为/（x）是有界可测

函数，/（x）在［0，1］上是L-可积的."6分

因为/（x）与x2“.e.相等，进一步，J*Q1/（x）tZr==丄...8分

2.解：

设人⑺=lnCY+/?

）fcow,则易知当，74oo时，n

又⑺七02分

ln（A+n）"+%ln（X+n）<^^<^（l+x）……4分3.

x+nIn3

从而使得I人（那〒（1+x）e~x

但是不等式右边的函数，在f0，+oo；）上是L可积的，故有

lim£fn{x）dx=£lim/n（^x）dx=08分

五、1.设£=[0，1],Zl=£n2，S=£\（£n2）.

•.•S是无限集,.可数子集A/cS2分

...欠是可数集，•••欠uA/口M..3

分

vB=Mu（B\A/）,£=AuB=AuA/u（B\M）,

•••£*]B，:

.B=c.6分

2.Vxg£'，则存在肿的互异点列UJ，使limx„=x.2

分

•••x，£，•••f（xn）>a3分

•••/（x）在x点连续，人/（%）=limf（xn）>a

Z?

—>oo

•••xeE5分

•••£是闭集..6分

对r=l,3J>0,使对任意互不相交的有限个

（6Zp/7,.）C（6Z，/?

）

当X汝-w时,有11，⑻/-，⑷I<12分

/=1/=1

将等分，使对'•=1

/=1

/（x）在上是有界变差函数5分

Xib

所以!

/（/）《1，从而因此，/⑴是[6/,糾上的有界

•力-1〃

变差函数..6分

4、/（幻在£上可积

=>limm£（|/|>/7）=m£（|/1=+oo）=0……2分

据积分的绝对连续性，\/£>^3S>^\/eczEjne

对上述〉0,彐々，Vm〉k,mE（\f\>n）

n.men<[|/（x）\dx<£,HPlimn.men=0

5.W，存在闭集7；c£，m（£-尺）<去，，⑺在连

令=，则\/妊/^3々，xen/；，VdxeFn=>f（x）

k=[n=k

oo

oo

又对任意）t,m（E-F）

n=k

n=k

oo

X^（£-FJ<-r

n=k

故m（E—F）=0,f（x）在Fc£连续•.8分又m（£-F）=0,所以/（x）是£-F上的可测函数，从而是£上

的

可测函数

••10分

《实变函数》试卷二

1.单项选择题（3分X5=15分）

1.设A/，7V是两集合，则（）

（A）M（B）N（0MoN⑼0

2.下列说法不正确的是（）

（A）的任一领域内都有£中无穷多个点，则忍是£的聚点

（B）戽的任一领域内至少冇一个£中异于戽的点，则戽是£的聚点

（C）存在£中点列｛G｝，使尺4尺，则6是£的聚点

（D）内点必是聚点

3.下列断言（）是正确的。

（A）任意个开集的交是开集；（B）任意个闭集的交是

闭集；

（O任意个闭集的并是闭集；（D）以上都不对；

4.下列断言中（）是错误的。

（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是

零测集；

（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；

5.

）是正确

若/（%）是可测函数，则下列断言（

（A）/（%）在［“，/?

］L-可积<=>|/Cx）|在［“，/?

］£-可积；

（B）/（%）在［«，/?

］/?

-可釈/（%）|在［^，/?

］/?

-可积⑹/O）在［“，/?

］£-可积e>|/00|在［（/，/?

］/?

-可积；

（D）/（x）在（6Z，+oo）/?

-广义可积=>/（x）在（a,+oo）L-可积

2.填空题（3分X5=15分）

1、设久=［丄，2-丄］，打=1,2广.，则UnM,,=。

nn

2、设尸为Cantor集，则7=，mP=,P=。

3、设⑻是一列可测集，则mfCs,.］

v=17z=i

4、鲁津定理：

5、设F（x）为上的有限函数，如果则

称F（x）为上的绝对连续函数。

3.下列命题是否成立?

若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.（5分X4=20分）

1、由于［0,1］-（0,1）={0,1}，故不存在使（0,1）和［0,1］之间1-1对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、6^.收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是奋界变差函数。

四•解答题（8分X2=16分）

设瓜）’贝1W）在M上是否/?

-可积

是否L-可积，若可积，求出积分值。

2、求极限

sin3nxdx.

五•证明题（6分X3+8x2=34分）

1.（6分）1、设f（X）是（-oo，+oo）上的实值连续函数，则对任意

常数c，E={x\/（x）>c}是一开集.

2.（6分）设£〉0,3开集G=）£，使m\G-£）

3.（6分）在上的任一有界变差函数./‘（X）都可以表示为两个増函数之差。

4.（8分）设函数列/Jx）（”=1，2,…）在有界集£上“基本上”一致收敛于/（x），证明：

/».e.收敛于/（x）。

5.（8分）设/（幻在£=[6/，/?

]上可积，则对任何£〉0,必存在F上的连续函数p（x），使/（%）-（p（x）\dx

（答案及评分标准）一、1,C2，C3,B4,C5,

A

二、1，（0,2）2,c；0；03,<4,设/（又）是£

上tzr.有限的可测函数，则对任意5〉0,存在闭子集么（=£,使得/U）在^上是连续函数，Km（£\£J<^o

5,对任意£〉0,35〉0,使对中互不相交的任意有限个

/I

开区间=1，2,只要就冇'•=1

/=!

三、1.错误记（0,1）中有理数全体

识（0）=ZJpf,识

（1）=厂2

R={rrr^-}\

吹）=h，《=1，2".

（p（x）=x,x为［0，1］中无理数，

显然减［0,1倒（0,1）上的1-1映射。

5分

OOoo

2.正确…设E,.为零测度集，，所以，/=1'=1

‘（0^）=0因此，0乓是零测度集。

5分

/=!

'=1

3.错误。

例如:

取£=（0，+oo），作函数列:

Jl，xe（O，zzJ

fn\X）=<77=1，2,…

lO,XG（Z2，+oo）

显然f人x）->1，当xe£o但当0<<7<1时

£[|/w-l|＞cr]=（n,+oo）

且m（n，+oo）=+oo这说明人（x）不测度收敛到1.5分

4•错误……2分例如：

/（x）〕-^cos—,0＜x＜l,显然是[0,g的0，x=0.

连续函数。

如果对[0，1]取分划7\0＜丄＜^^＜...＜丄＜丄＜1，则容易证2n2n-\32

明-从而得到V（/）=oo*"5分

/=1/=!

1°

四、1./（X）在丨0，1]上不是/?

-可积的，因为/⑴仅在x=l处

连续，即不连续点为正测度集3分

因为/（x）是有界可测函数，所以/（x）在0，上是L-可积的