实变函数复习资料带答案doc.docx

1、实变函数复习资料带答案doc实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、 下列各式正确的是( ) oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;nh=1 k=n ，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA = n u ; (D) lim= Ak ;打一oo z:=l k=n z?=l k=n2、 设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、 下列说法不正确的是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可 测(C)开集

2、和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测4、 设以(4是上的e有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=/(x),则又(x) + /(x) (B)sup/Cr)是可测函数(O inf/%)是可测函数；(D)若/T H又=/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是( )(A) /(X)在6Z，/7上有界 (B) /(X)在6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上 L 可积(D) Jafx)cbc=f(b)-f(a)2. 填空题(3分X 5=15分)1、 (CsAuCv5)n(A-(A-B)= 2、 设是0，1上有理点全体，则E - ,

3、E- , E- .3、 设是/?。中点集，如果对任一点集r都 ,贝1J称是可测的4、 /可测的 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、 设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使 ，则称/(x)为6Z，/7上的有界变差函数。三、 下列命题是否成立?若成立，则证明之;若不成立，则举反 例说明.(5分X4=20分)1、设Ec/?1,若万是稠密集，则C 是无处稠密集。2、 若mE = O,则一定是可数集.3、 若|/(x)|是可测函数，则/(x)必是可测函数4、 设7Xx)在可测集上可积分，若/，/0)0，贝四、解答题（8分X2=16分）.了，则/（x）

4、在0，1上是否/?-U，x为南理数可积，是否L-可积，若可积，求出积分值。 ln（x + n）2、（6分）设/（X）是（-oo，+oo；）上的实值连续函数，则对于任意一、 1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、 1. 0 2、0,1； 0 ； 0,1 3,m T - m (T n) + m (T n CE)4、充要5、ip，-，（么叫成一有界数集。三、1.错误2分例如：设是0，1上有理点全体，则和（? 都在丨0，1中稠密5分2. 错误2分例如：设是0/*厂集，则m = 0,但 =（:,故其为不可数集 5分3. 错误例如：设是卜，上的不可测集，则l/W|是h，/7上的可测函数，但/（

5、X）不是以上的可测函 数4.错误m = 0时，对E上任意的实函数/都有7（%咏=0E四、1. /在0，1上不是/?-可积的，因为/Cr）仅在x = l处常数 61， = %|/（；1）是闭集。3、 （6分）在上的任一有界变差函数/（幻都可以表示为 两个增函数之差。/U)二X,XE ;-x,xe a,b- E;4、 （6 分）设77200，/（幻在上可积,A = （1/17），贝IJ limz?- men = 0.nfc 5、（10分）设/（幻是上.有限的函数，若对任意50，存在闭子集 c,使/（x）在上连续，且证明：/（幻是上的可测函数。（兽津定理的逆定理题 瞥（参考答案及评分标准）连续，即不

6、连续点为正测度集.3分因为/（x）是有界可测函数，/(x)在0，1上是L-可积的.6分因为/(x)与 x2 “.e.相等，进一步，J*Q1 /(x)tZr = =丄.8 分2. 解：设人=lnCY + /?)f cow,则易知当，74oo时， n又七0 2分ln(A + n) + %ln(X + n)a 3 分 /(x)在x点连续，人 /(%) = lim f(xn)aZ?oo xe E 5 分 是闭集. .6分对r = l, 3J0,使对任意互不相交的有限个(6Zp/7,.)C(6Z，/?)当X汝-w时,有11，/ -，I limm(|/|/7)= m(| /1= +oo) = 0 2 分据

7、积分的绝对连续性，/3S/eczEjneS, W fx)dxn)S,从而n.men | /(x)dx , HP limn.men =0 5. W，存在闭集7； c ，m ( -尺) f(x)k= n=koooo又对任意)t, m(E-F)mE-(nFn) = mj(E-Fn)n=kn=kooX(-FJ-rn=k故 m(E F) = 0, f(x)在 F c 连续 . 8 分 又m( - F) = 0,所以/(x)是 - F上的可测函数，从而是上的可测函数 10 分实变函数试卷二1. 单项选择题(3分X5=15分)1. 设A/，7V是两集合，则( )(A) M (B) N (0 MoN 02.

8、下列说法不正确的是( )(A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则忍是的聚点(B) 戽的任一领域内至少冇一个中异于戽的点，则戽是 的聚点(C) 存在中点列G，使尺4尺，则6是的聚点(D) 内点必是聚点3. 下列断言()是正确的。(A)任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(O任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4. 下列断言中()是错误的。(A)零测集是可测集； (B)可数个零测集的并是零测集；(C)任意个零测集的并是零测集；(D)零测集的任意子集是 可测集；5. )是正确若/(%)是可测函数，则下列断言(A) /(%)在“，/? L-可积 |/Cx)| 在“，/?-可积；(B)

9、 /(%)在，/?/?-可釈/(%)|在，/?/?-可积 /O)在“，/?-可积 e| /00|在(/，/?/?-可积；(D) /(x)在(6Z，+oo)/?-广义可积= /(x)在(a, +oo)L-可积2. 填空题(3分X 5=15分)1、 设久=丄，2-丄，打=1,2广.，则UnM, = 。n n2、 设尸为Cantor集，则 7 = ，mP = , P= 。3、 设是一列可测集，则mfCs,. v=1 7 z=i4、鲁津定理：5、设F(x)为上的有限函数，如果 则称F(x)为上的绝对连续函数。3. 下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明 原因或举出反例.(5分X4=20分

10、)1、 由于0,1 - (0,1) = 0,1，故不存在使(0,1)和0,1之间1 -1对 应的映射。2、 可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、 6.收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是奋界变差函数。四解答题(8分X 2=16分)设瓜)贝1W)在M上是否/?-可积是否L-可积，若可积，求出积分值。2、求极限sin3 nxdx.五证明题(6分X 3+ 8x2 =34分)1. (6分)1、设f(X)是(-oo，+oo)上的实值连续函数，则对任意常数 c，E = x /(x) c是一开集.2. (6分)设0,3开集G=)，使mG-)r,则E是可测 集。3. (6分)在上的任一有界变差函数.

11、/(X)都可以表示为 两个増函数之差。4. (8分)设函数列/Jx) (” = 1，2,)在有界集上“基本上” 一致收敛于/(x)，证明：/.e.收敛于/(x)。5. (8分)设/(幻在 = 6/，/?上可积，则对任何0,必存 在F上的连续函数p(x)，使/(%)-(p(x)dxe.(答案及评分标准)一、1, C 2，C 3, B 4, C 5,A二、 1，(0,2) 2, c ； 0 ； 0 3, 4,设/(又)是上tzr.有限的可测函数，则对任意50,存在闭子集么(=, 使得/U)在上是连续函数，Km(Jo5, 对任意0,350,使对中互不相交的任意有限个/I开区间= 1，2,只要就冇 =

12、1/=!三、 1.错误记(0,1)中有理数全体识(0) = ZJ p f ,识(1)=厂2R = rrr-吹)= h， = 1，2.(p(x) = x, x为0，1 中无理数，显然减0,1倒(0,1)上的1-1映射。 5分OO oo2. 正确设E,.为零测度集，所以， /=1 =1(0) = 0因此，0乓是零测度集。 5分/=! =13. 错误。例如:取 = (0，+oo)，作函数列:Jl，xe(O，zzJfnX)= 1，当xe o但当0 7 1时|/w-l|cr = (n,+oo)且m(n，+oo) = +oo这说明人(x)不测度收敛到1. 5分4错误2分例如：/(x)-cos,0xl,显然是0,g的 0，x = 0.连续函数。如果对0，1取分划70丄.丄丄1，则容易证 2n 2n- 3 2明 - 从而得到 V(/) = oo *5 分/=1 /=! 1 四、1. /(X)在丨0，1上不是/?-可积的，因为/仅在x = l处连续，即不连续点为正测度集 3分因为/(x)是有界可测函数，所以/(x)在0，上是L -可积 的