全国各地中考数学最值问题压轴题选择填空按题型整理答案解析教师版.docx

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全国各地中考数学最值问题压轴题选择填空按题型整理答案解析教师版

2020年全国各地中考数学最值问题压轴题（选择、填空）按题型整理

8、最值问题

1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为　22　．

【解答】解：

如图，连接BE，BD．

由题意BD2，

∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，

∴BEMN＝2，

∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，

∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

∴DE的最小值为22．

故答案为22．

2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（　　）

A．﹣4B．0C．2D．6

【解答】解：

∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，

∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），

∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∵（m﹣1）a+b+c≤0，

∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，

∵a＞0，

∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，

∴m的最大值为6，

故选：

D．

3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　　．

【解答】解：

如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，

此时E′C+E′C最小，即：

E′C+E′C＝CD′，

由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，

∴∠COD′＝90°，

∴CD′2，

的长l，

∴阴影部分周长的最小值为2．

故答案为：

．

4.（2020•鄂州）如图，已知直线yx+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为　2　．

【解答】解：

如图，

在直线yx+4上，x＝0时，y＝4，

当y＝0时，x，

∴OB＝4，OA，

∴tan∠OBA，

∴∠OBA＝30°，

由PQ切⊙O于Q点可知：

OQ⊥PQ，

∴PQ，

由于OQ＝1，

因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，

∴OPOB＝2，

此时PQ，

BP2，

∴OQOP，即∠OPQ＝30°，

若使点P到直线a的距离最大，

则最大值为PM，且M位于x轴下方，

过点P作PE⊥y轴于点E，

∴EPBP，

∴BE3，

∴OE＝4﹣3＝1，

∵OEOP，

∴∠OPE＝30°，

∴∠EPM＝30°+30°＝60°，

即∠EMP＝30°，

∴PM＝2EP＝2．

故答案为：

2．

5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（　　）

A．2B．2C．6D．3

【解答】解：

设C（m，0），

∵CD＝2，

∴D（m+2，0），

∵A（0，2），B（0，4），

∴AC+BD，

∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN），

如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，

∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）

P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ2，

∴AC+BD的最小值为2．

故选：

B．

6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　2　．

【解答】解：

如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．

∵AC＝CB，AM＝OM，

∴MCOB＝1，

∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．

∵直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，

∴D（4，0），E（0，﹣3），

∴OD＝4，OE＝3，

∴DE5，

∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，

∴△DNM∽△DOE，

∴，

∴，

∴MN，

当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值5×

（1）＝2，

故答案为2．

7.（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为　99　．

【解答】解：

作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，

∵弦AB已确定，

∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，

如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，

∵CM⊥AB，CM过O，

∴AM＝BM（垂径定理），

∴AC＝BC，

∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，

∴OM＝AMAB3，

∴OA3，

∴CM＝OC+OM＝33，

∴S△ABCAB•CM6×（33）＝99．

故答案为：

99．

8.（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DFDE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为　9　．

【解答】解：

作CH⊥AB于点H，

∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，

∴CH＝4，

∵四边形ECGF是平行四边形，

∴EF∥CG，

∴△EOD∽△GOC，

∴，

∵DFDE，

∴，

∴，

∴，

∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，

当EO⊥CD时，EO取得最小值，

∴CH＝EO，

∴EO＝4，

∴GO＝5，

∴EG的最小值是，

故答案为：

9．

9.（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为　4+2　．

【解答】解：

∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，

∴AC∥x轴，

∴∠BAC＝45°，

∵CA＝CB，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，

∴∠C＝90°，

∵B（3，3）

∴C（3，1），

∴AC＝BC＝2，

作B关于y轴的对称点E，

连接AE交y轴于D，

则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，

过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，

则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，

∴AE2，

∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，

故答案为：

4+2．

10.（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．1B．C．21D．2

【解答】解：

如图，

∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，

∴C在⊙B的圆上，且半径为1，

取OD＝OA＝2，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，

∴OM是△ACD的中位线，

∴OMCD，

当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，

∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，

∴BD＝2，

∴CD＝21，

∴OMCD，即OM的最大值为；

故选：

B．

11.（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（　　）

A．B．C．﹣2D．

【解答】解：

点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，

当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQBP最大，

而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，

则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，

设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，

解得：

m2，

∴k＝m（﹣m），

故选：

A．

12.（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为　15　．

【解答】解：

作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．

∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，

∴∠ABA′＝60°，

∴△ABA′是等边三角形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，

在Rt△ABD中，AB10，

∵A′H⊥AB，

∴AH＝HB＝5，

∴A′HAH＝15，

∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，

∴AM+MN≥15，

∴AM+MN的最小值为15．

故答案为15．

13.（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为　6　．

【解答】解：

如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，

∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，

∴BH＝1，AH，AA'＝2，∠C＝30°，

∴Rt△CDE中，DECD，即2DE＝CD，

∵A与A'关于BC对称，

∴AD＝A'D，

∴AD+DE＝A'D+DE，

∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，

此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'23，

∴AD+DE的最小值为3，

即2AD+CD的最小值为6，

故答案为：

6．