贝叶斯统计老师划的课后习题Word格式文档下载.doc
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(1)θ~u(0,1)
(2)θ~π(θ)=
解:
设A为从产品中随机取出8个,有3个不合格,则
(1)由题意知
从而有
(2)
1.10从正态总体N(0,4)中随机抽取容量为100的样本,又设θ的先验分布为正态分布。
证明;
不管先验标准差为多少,后验标准差一定小于1/5.
证明:
设
又由于是的充分统计量,从而有
因此
又由于
所以的后验标准差一定小于
2.1设随机变量x服从几何分布
P(X=x)=θ(1-θ),x=0,1,…
其中参数θ的先验分布为均匀分布U(0,1)
(1)若只对X作一次观察,观察值为3,求θ的后验期望估值。
(2)若对X作三次观察,观察值为3,2,5,求θ的后验期望估值。
由题意可知
设是从随机变量X中抽取的随机样本,则
从而有
所以
(1)由题意可知n=1,x=3
(2)由题意可知
2.5.设x,…,x是来自正态分布N(θ,4)的一个样本,又设θ的先验也是正态分布,且其标准差为1,若要使后验方差不超过0.1,最少要取多少样本量。
解:
设,则
设,则,且
其中
2.10.对正态分布N(θ,1)作观察,获得三个观察值;
2,4,3,若θ的先验分布为N(3,1),求θ的0.95可信区间。
已知
设的后验分布为
可得:
由已知得:
,
所以的95%的可信区间为:
即为.
3.8.对以下的每个分布中的未知参数使用fisher信息量决定jeffreys先验。
(1)泊松分布P(θ)
(2)二项分布b(n,θ)(n已知)
(3)负二项分布Nb(m,θ)(m已知)
(4)伽玛分布Ga(α,λ)(λ已知)
(5))伽玛分布Ga(α,λ)(α已知)
(6)伽玛分布Ga(α,λ)
(1)由题意可知
设是来自X的简单随机样本,则
对上式分别求一阶导、二阶导得
(2)由题意可知
(3)由题意可知
(4)由题意可知
对上式分别关于求一阶导、二阶导得
(5)由题意可知
(6)由题意可知
对上式分别关于求导得
令,则
3.9.设X~p(x|),的jeffreys先验为,i=1,2,…,k.若诸X相互独立,证明;
…)的jeffreys先验为。
证明:
由题意可知
由于各独立,因此有
由上式可得出
因此有
所以
4.1某公司准备经营一种新产品,可采取的行动有:
大批,中批和小批生产。
市场可能出现的销售状态有:
畅销,一般和滞销。
如大批生产,在畅销时可获利100万,一般时可获利30万,滞销时亏损60万;
如中批生产,在三种市场情况下可获利50万,40万和亏损20万;
如小批生产,在三种市场情况下可获利10万,9万和亏损6万。
(1)写出收益矩阵。
(2)在悲观准则下,该公司的最优行动是什么?
(3)在乐观准则下,该公司的最优行动是什么?
(4)若乐观系数α=0.8,该公司的最优行动是什么?
令;
(1)
因此,在悲观准则下,最优行动为
(3)
因此,在乐观准则下,最优行动为
(4)
因此,在乐观系数为0.8时,最优行动为
4.2某作家准备写一本书,为此要与出版社签署一项合同,合同书上规定每千字稿酬与发行量挂钩,如今有二种合同书a与a,发行量也分三种:
5万册以上(),2万册到5万册之间(),1万册以下(),两种合同书上对稿酬(单位:
元/千字)规定如下:
aa
Q=
(1)若该作家对自己的创作充满信心,在乐观准则下的最优行动是什么?
(2)若该作家对自己的创作把握不大,在悲观准则下的最优行动是什么?
(3)若该作家对自己的创作有七成把握,愿以α=0.7作为乐观系数,在折中准则下的最优行动是什么?
因此,在乐观系数为0.7时,最优行动为
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