控制系统的状态空间分析.docx
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控制系统的状态空间分析
II、分析部分
第二章线性多变量系统的运动分析
在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后,本章将讨论线性多变量系统的运动分析,即线性状态方程的求解。
对于线性定常系统,为保证状态方程解的存在性和唯一性,系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。
一般来说,在实际工程中,这个条件是一定满足的。
2.1线性系统状态方程的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
Σ:
(2.1)
其中,
,且初始条件为
。
将方程(2.1)写为
在上式两边左乘e-At,可得
将上式由O积分到t,得
故可求出其解为
(2.2a)
或
(2.2b)
式中
为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程,
(2.3)
类似可求出其解为
(2.4)
一般说来,线性时变系统的状态转移矩阵
只能表示成一个无穷项之和,只有在特殊情况下,才能写成矩阵指数函数的形式。
2.2状态转移矩阵的性质
定义2.1时变系统状态转移矩阵
是满足如下矩阵微分方程和初始条件
(2.5)
的解。
下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质:
1、
;
2、
;
3、
;
4、当A给定后,
唯一;
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
(2.6a)
上式一般不能写成封闭形式,可按精度要求,用数值计算的方法取有限项近似。
特别地,只有当满足
即在矩阵乘法可交换的条件下,
才可表示为如下矩阵指数函数形式
(2.6b)
显然,定常系统的状态转移矩阵
不依赖于初始时刻
,其性质仅是上述时变系统的特例。
------------------------------------------------------------------------------
[例2.1]试求如下线性定常系统
的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t)。
[解]对于该系统,
其状态转移矩阵由下式确定
由于
其逆矩阵为
因此
=
由于Ф-1(t)=Ф(-t),故可求得状态转移矩阵的逆为
------------------------------------------------------------------------------
[例2.2]求下列系统的时间响应:
式中,u(t)为t=0时作用于系统的单位阶跃函数,即u(t)=1(t)。
[解]对该系统
状态转移矩阵
已在例2.1中求得,即
因此,系统对单位阶跃输入的响应为:
或
如果初始状态为零,即X(0)=0,可将X(t)简化为
------------------------------------------------------------------------------
2.3向量矩阵分析中的若干结果
本节将补充介绍在2.4节中将用到的有关矩阵分析中一些结果,即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。
2.3.1凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理
在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时,凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。
考虑n×n维矩阵A及其特征方程
凯莱-哈密尔顿定理指出,矩阵A满足其自身的特征方程,即
(2.7)
为了证明此定理,注意到(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)是λ的n-1次多项式,即
式中,
。
由于
可得
从上式可看出,A和
(i=1,2,…,n)相乘的次序是可交换的。
因此,如果(λI-A)及其伴随矩阵adj(λI-A)中有一个为零,则其乘积为零。
如果在上式中用A代替λ,显然λI-A为零。
这样
即证明了凯莱-哈密尔顿定理。
2.3.2最小多项式
按照凯莱-哈密尔顿定理,任一n×n维矩阵A满足其自身的特征方程,然而特征方程不一定是A满足的最小阶次的纯量方程。
我们将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项式,也就是说,定义n×n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式φ(λ),即
使得φ(A)=0,或者
最小多项式在n×n维矩阵多项式的计算中起着重要作用。
假设λ的多项式d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。
可以证明,如果将d(λ)的λ最高阶次的系数选为1,则最小多项式φ(λ)由下式给出:
(2.8)
注意,n×n维矩阵A的最小多项式φ(λ)可按下列步骤求出:
1、根据伴随矩阵adj(λI-A),写出作为λ的因式分解多项式的adj(λI-A)的各元素;
2、确定作为伴随矩阵adj(λI-A)各元素的最高公约式d(λ)。
选取d(λ)的λ最高阶次系数为1。
如果不存在公约式,则d(λ)=1;
3、最小多项式φ(λ)可由|λI-A|除以d(λ)得到。
2.4矩阵指数函数eAt的计算
前已指出,状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵,即矩阵指数函数eAt。
如果给定矩阵A中所有元素的值,MATLAB将提供一种计算eAT的简便方法,其中T为常数。
除了上述方法外,对eAt的计算还有几种分析方法可供使用。
这里我们将介绍其中的四种计算方法。
2.4.1方法一:
直接计算法(矩阵指数函数)
(2.9)
可以证明,对所有常数矩阵A和有限的t值来说,这个无穷级数都是收敛的。
2.4.2方法二:
对角线标准形与Jordan标准形法
若可将矩阵A变换为对角线标准形,那么eAt可由下式给出
式中,P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。
类似地,若矩阵A可变换为Jordan标准形,则eAt可由下式确定出
eAt=SeJtS–1(2.11)
------------------------------------------------------------------------------
[例2.3]考虑如下矩阵A
[解]该矩阵的特征方程为
因此,矩阵A有三个相重特征值λ=1。
可以证明,矩阵A也将具有三重特征向量(即有两个广义特征向量)。
易知,将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为
矩阵S的逆为
于是
注意到
可得
eAt=SeJtS–1
即
2.4.3方法三:
拉氏变换法
(2.12)
为了求出eAt,关键是必须首先求出(sI-A)的逆。
一般来说,当系统矩阵A的阶次较高时,可采用递推算法。
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[例2.4]考虑如下矩阵A
A
试用前面介绍的两种方法计算eAt。
[解]方法一由于A的特征值为0和-2(λ1=0,λ2=-2),故可求得所需的变换矩阵P为
P=
因此,由式(2.10)可得
方法二由于
可得
因此
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2.4.4方法四:
化eAt为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法)
第四种是利用凯莱-哈密尔顿定理,化
为A的有限项,然后通过求待定时间函数获得
的方法。
必须指出,这种方法相当系统,而且计算过程简单。
设A的最小多项式阶数为m。
可以证明,采用赛尔维斯特内插公式,通过求解行列式
(2.13)
即可求出
。
利用式(2.13)求解时,所得
是以
(k=0,1,2,…,m-1)和
(i=1,2,3,…,m)的形式表示的。
此外,也可采用如下等价的方法。
将式(2.13)按最后一行展开,容易得到
(2.14)
从而通过求解下列方程组:
·
·(2.15)
·
可确定出
(k=0,1,2…,m-1),进而代入式(2.14)即可求得
。
如果A为n×n维矩阵,且具有相异特征值,则所需确定的
的个数为m=n,即有
(2.16)
如果A含有相重待征值,但其最小多项式有单根,则所需确定的
的个数小于n,这里将不再进一步介绍。
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[例2.5]考虑如下矩阵A
试用化
为A的有限项法计算
。
[解]矩阵A的特征方程为
可得相异特征值为λ1=0,λ2=-2。
由式(2.13),可得
即
将上述行列式展开,可得
或
另一种可选用的方法是采用式(2.16)。
首先,由
确定待定时间函数
和
。
由于λ1=0,λ2=-2,上述两式变为
求解此方程组,可得
因此,
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习题
2.1考虑下列矩阵
试利用三种方法计算
。
2.2给定线性定常系统
式中
且初始条件为
试求该齐次状态方程的解x(t)。