第三章例题Word文件下载.doc

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105cm/s，求晶格中格波截止频率。

3、设有一维双原子链，两种原子的质量相等，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹性系数也不等，求格波的色散关系。

4、在一维无限长的简单晶格中，若考虑原子间的长程作用力，第n个与第n+m或n-m个原子间的恢复力系数为，试求格波的色散关系。

5、若将一维单元子链中原子的振动位移写成，求格波的色散关系。

6、设有一维晶体，其原子质量均为m，而最邻近原子间的力常数交替地等于和，且最邻近的距离为，试画出色散关系曲线，并给出和处的。

解：

对同种结构的晶体，比热与成正比，所以

NaCl在5K时的比热为

J·

K-1,

KCl在2K时的比热为

J·

K-1，

2、设晶格常数a=1´

一维单原子链的色散关系为：

在长波极限下，，，因而

\

截止频率

（1）一维双原子链如下图所示：

设x1（na）、x2（na）表示平衡位置为na的A原子和平衡位置为（na+d）的B原子的位移，A原子与左右原子的弹性系数分别为β1和β2，m代表每个原子的质量。

（2）在简谐近似和近邻作用近似下运动方程为

（3）此方程组有2N个方程，应有2N个解。

将试探解代入方程组，并整理得:

（4）

（5）A1、A2有非零解的条件是其系数行列式为零:

（6）解得

设原子的质量为M，第n个原子对平衡位置的位移为,第n+m和n-m个原子对平衡位置的位移分别为和（m=1，2，3·

·

），则第n+m和n-m个原子对第n个原子的作用力为：

第n个原子受力的总和为

因此第n个原子的运动方程为

将格波的试探解

代入运动方程，得

由此得格波的色散关系为

在一维单原子晶格中，由近邻作用近似和简谐近似，第n个原子的运动方程为

其中（n=1，2，3，…）为第n个原子的位移，为弹性系数。

根据题意，原子的位移可表示为

代入上面方程，得

格波的色散关系为

一维双原子链如下图所示：

令x1（na）表示平衡位置为na的A原子的位移，x2（na）表示平衡位置为（na+）的B原子的位移，A原子与左右原子的弹性系数分别为10β和β，m代表每个原子的质量。

在简谐近似和近邻作用近似下运动方程为

将试探解，代入上面方程组，消去公因子，得：

、有非零解的条件是其系数行列式为零：

解得

当上式中取“+”和“-”时，分别对应光学支和声学支。

当时，有，；

当时，有，。

其色散关系如下图：