电磁学第三章例题.docx
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电磁学第三章例题
物理与电子工程学院
早节
名称
第三章
静电场中的电介质
使学生：
（1）了解偶极子在电场中的受力情况，了解讨论电介质极化时所采用的“极化模型”及电介质极化机制，掌握极化强度矢量的意义；
（2）在极化电荷概念的基础上，对电介质内部及表面上的极化电荷进行描述，并会求解电介质表面上的极化电荷面密度；
（3）了解有电介质存在时场的讨论方法，掌握电位移矢量的意义及与电场强度矢量、极化强度矢量的区别和联系，会用电介质中的高斯定理计算电场；
（4）掌握有介质时的静电场方程；
5）掌握电场能量、能量密度的概念并会求解电场的能量。
重点：
电介质极化的微观过程及宏观效果，有电介质存在时静电场的高斯定理及与真空中的高斯定理的区别与联系，电位移、电场强度及电场能量的计算
难点：
极化电荷体密度及面密度的推导过程，对有电介质存在时的高斯定理的理解及应用
讨
论习题:
处理方法：
课堂讲授、课后讨论、课后做习题等方式相结合
3.4.1；3.4.5；346
3.5.1；3.5.3；3.5.9
3.7.1；3.7.2
第一节概述：
宏观（量）与微观（量）的关系
第二节偶极子：
电介质的特点，中性分子与偶极子，偶极子在外电场中所受的力矩，偶极子激发的静电场
第三节电介质的极化：
电介质的分类，位移极化与取向极化，极化强度的定义，极化强度与场强的关系
第四节极化电荷：
极化电荷的定义，极化电荷体密度与极化强度的关系，极化电荷面密度与极化强度的关系
第五节有电介质时的高斯定理：
电位移矢量的定义，有电介质时的高斯定
理及其应用
第六节有电介质时的静电场方程：
真空中及介质中的静电场方程比较
第七节电场的能量：
场能密度的定义及能量的计算
注：
教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。
重复班授课可不另填写教案。
教学内容须另加附页。
总结:
1、P0E
（1）极化率各点相同，为均匀介质
Pi
（2）P-各点相同，为均匀极化
iPdS
2、极化电荷体密度q'-PdSdqPdS
S
（1）对均匀极化的介质：
qo
（2）特例：
仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密
度o0，贝U：
o，qo（第5节小字部分给出证明）
3、极化电荷面密度P2P?
P2、Pi分别为媒质2、i的极化强度，n?
为界面上从2-1的法向单位矢。
当电介质置于真空（空气中）或金属中：
PPnPn:
电介质内的极化强度?
:
从电介质指向真空
或金属的法向单位矢。
例（补充）：
求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P。
解：
（1）求极化电荷的分布，取球心O为原点，极轴与P平行的球极坐标，选球表面任一点A（这里认为置于真空中），则:
P?
A
由于均匀极化，P处处相同，而极化电荷的分布情况由?
A与P的夹
ApnAPcosA
任一点有：
Pcos
所以极化电荷分布：
右半球在1、象限，0
左半球在2、3象限，0
（2）求极化电荷在球心处产生的场强
由以上分析知以z为轴对称地分布在球表面上，因此在球心处产
生的E只有z轴的分量，且方向为z轴负方向。
在球表面上任意选取一面元dS，面元所带电荷量dqdS，其在球
心O处产生场强为:
P
E的方向为z轴负方向，大小为3_
例1:
书P103例题1
半径为R,电荷量为q。
的金属球埋在绝对介电常量为的均匀无限大
电介质中，求电介质内的场强E及电介质与金属交界面上的极化电荷面密度。
解：
（1）由于电场具有球对称性，故在介质中过P点作一个半径为r
与金属球同心的球面S为高斯面，S上各点的D大小相等且沿径向，由高
斯定理得：
1
ODds
qo
4r2D
Dq。
qoD4r2
D4q；2?
因DE，得：
1
Eqo2?
qo
o,
E与？
同向，背离球心
j
4rqo
o,
E与？
反向，指向球心
（2）在交界面上取一点B，过B点作界面的法线单位矢n?
（由介质指
向金属），则:
P
Lb
°Eb?
而EB
q°r?
4R2
°
q°
4
R2
又
°1
°
°
故
°
q°°
q°
4
R2
4R2
讨论：
（1）
°，故交界面上
与q°（
°）始终反号：
q°为正，
则为负；q0为负，则为正。
（2）交界面上的极化电荷总量为:
q4R2—q。
即q|qj:
极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值。
（3）交界面上的总电荷量为：
qq。
qq°「
这说明总电荷减小到自由电荷的了r倍。
q°
（4）把介质换为真空，则场强为，此式与前面有介质时的结
4°r
果比较知：
充满均匀介质时场强减小到无介质时的yr倍：
例2（补充）：
类似于P104例题2
平行板电容器两极板面积S,极板上自由电荷面密度，两极板间
充满电介质1、2，厚度分别为di、d2,①求各电介质内的电位移和场强；
②电容器的电容。
解：
（1）如图，由对称性知介质中的E及D都与板面垂直在两介质分界面处作高斯面Si,Si内自由电荷为零，故有
nDdSDiSiD2Si0
得Di=D2
Ei———
i0ri
E2-——
20r2
（2）正负两极板A、B间的电势差为:
例1:
书上P112例题
在均匀无限大电介质中有一个金属球，已知电介质的绝对介电常量为
金属
金属球的半径和自由电荷分别为R及qo，求整个电场的能量。
介质£
q°
解：
（1）电场的分布：
前例已求出，介质中的电位移为:
4>
4r2
而金属内部：
DE0
（2）场能体密度：
整个电场的能量为:
2
DEqo
2=322r4
dV
2
qo
■^r2sindrddr
（=
qo
R322r4
r2dr）
22
q°i亠sind2dq°
=2-drsindd
322R「2。
08R
例2（补充）:
平行板空气电容器，极板面积S,间距d,用电源充电后，
两极板上带电分别为士Q。
断开电源后，再把两极板的距离拉开到2d。
求
（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；
（2）两极板之间的相互吸引力
（空气的介电常量取为°）
解法1由静电能求解
（1）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器的电容分别为:
1Q2Q2dXA/Q2d
W2
2Ci2°S°S
拉开极板后，电容器中电场能量的增量为:
Q2d
WWl2Wl.
12°S
由于电容器两极板间有相互吸引力，要使两极板间的距离拉开，外力必须作正功，而外力所作的功应等于两极板间电场能量的增量，即:
1
Q2d
2°S
（2）设两极板间的相互吸引力为F,拉开两极板时，所加外力应等于
F，外力所作的功：
AF外d,而F外F
AQ2d2°S
解法2:
由电场的能量求解
两极板的间距为d和2d时，极板间电场大小为:
极板间场能体密度:
个电场的能量为:
例3（补充）:
计算一个球形电容器电场中所储存的能量。
全部电场中所储有的能量为:
Rb
WdW2
Ra
E2r2dr
Rb
2
Ra
二2r2dr蛍丄丄
4r8rarb
1Q2
2~C
Q2
rarb
RbRa
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