三角形五心的总结与归纳.docx

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三角形五心的总结与归纳

三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.（注：

没有中心）

三角形内心

定义：

三角形内接圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心也就是三角形三个内角的三条角平分线交点。

图形：

性质：

1、内心是三角形三个内角角平分线的交点；

2、内心到三角形三边的距离都相等，都等于内切圆半径r；

3、内心是内切园的园心。

做法：

1.做出△ABC的两个内角的平分线，交于一点，该点即为三角形内心。

三角形外心

定义：

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。

三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点。

图形：

性质：

1、外心是三角形三条边垂直平分线的交点；

2、外心到三角行三个顶点的距离相等，都等于外切圆半径R；

3、外心是外切圆的圆心。

作法：

分别作三角形两边的中垂线交点计作O

以O为圆心OA为半径画圆

圆O即为所求

其他：

（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；

（3）钝角三角形的外心在三角形外.

（4）等边三角形外心与内心为同一点。

三角形的重心

性质：

三角形重心是三角形三边中线的交点。

当几何体为匀质物体时，重心与形心重合（顺口溜：

三条中线必相交，交点命名为“重心”

重心分割中线段，线段之比二比一；

图形：

性质：

1、三角形重心是三角形三边中线的交点

2、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：

1。

3、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

三角形的垂心

定义：

垂心：

三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。

图形：

性质：

1、三角形的三条高或其延长线的交点；

2、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.

三角形的旁心

定义：

三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。

性质：

性质1：

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

性质2：

旁心到三角形三边的距离相等。

性质3：

三角形有三个旁切圆，三个旁心。

旁心一定在三角形外。

性质4：

直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。