西南大学2019秋[0346]《初等数论》在线作业答案文档格式.docx

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解：

结论：

二元一次不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是（a,b）|c。

ax+by=c有整数解，设为x0,y0，则

ax0 by0 c

但（a,b）|a，（a,b）|b，因而（a,b）|c，必要性得证。

反之，若（a,b）|c，则c c1（a,b），c1为整数。

由最大公因数的性质，存在两个整数s，t满足下列等式

as bt （a,b）

于是a（sc1）

b（tc1）

c1（a,b） c。

令x0

sc1，y0

tc1，则ax0

by0

c，故x0,y0为ax+by=c的整数解，从而

ax+by=c有整数解。

同余的一条性质：

整数a，b对模m同余的充要条件是m｜a-b，即a=b+mt，

t是整数。

证明如下：

设a

mq1 r1，b

mq2 r2，0 r1，r2

m。

若a≡b（mod

m），则r1 r2，因此a b m（q1 q2），即m｜a－b。

反之，若m｜a－b，则m|m（q1

故r1 r2，即a≡b（mod m）。

q2）

（r1

r2），因此m|r1

r2，但 r1

r2m，

若a，b是两个整数，其中b>

0，则存在两个整数q及r，使得

a=bq+r，0 r b

成立，而且q及r是唯一的。

下面给出证明：

…，－3b，－2b，－b，0，b，2b，3b，…

则a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q使得qb≤a<

（q+1）b成立。

令

a－qb＝r，则r为整数，且a＝qb＋r，而0 r b。

设q1，r1是满足

（2）的另两个整数，则

a bq1 r1，0 r1 b

所以bq1 r1

bq r，于是b（q1 q）

r r1，故bq1

qr r1。

由于r，r1都是

小于b的正整数或零，故r r1

b。

如果q1

q，则bq1

q b，这是一个矛盾。

因此q1 q，从而r1 r。

填空题

1．7除29的商是 。

2．12除26的余数是 。

3．5的正因数是 。

4．{4.5}= 。

5．[8.3]+[-8.3]= 。

6．30的最小质因数是 。

7.在所有质数中，是偶数的是 。

8.在所有质数中，最小的奇质数是 。

9.大于4小于16的素数有 。

10.不定方程ax by c有整数解的充分必要条件是 。

11.模5的最小非负完全剩余系是 。

12.模4的绝对最小完全剩余系是 。

13．5555的个位数是 。

14．77的个位数是 。

15．316的十进位表示中的个位数字是 。

16．66的个位数是 。

17．710被11除的余数是 。

18．（1516，600）= 。

19．6的所有正因数的和是 _。

20．24与60的最大公因数是 。

21．35的最小质因数是

。

22．46的个位数是

23．8的所有正因数的和是

_。

24．18的标准分解式为

25．20的欧拉函数值（20）=

填空题答案

1．7除29的商是 4 。

2．12除26的余数是 2 。

3．5的正因数是 1,5 。

4．{4.5}= 0.5 。

5．[8.3]+[-8.3]= -1 。

6．30的最小质因数是 2 。

7．在所有质数中，是偶数的是 2 。

8．在所有质数中，最小的奇质数是 3 。

9．大于4小于16的素数有 5,7,11,13 。

10.不定方程ax by c有整数解的充分必要条件是 （a,b）|c 。

11.模5的最小非负完全剩余系是 0,1,2,3,4 。

12.模4的绝对最小完全剩余系是 -1,0,1,2 。

13．5555的个位数是 5 。

14．77的个位数是

3 。

15．316的十进位表示中的个位数字是 1 。

16．66的个位数是 6 。

17．710被11除的余数是 1 。

18．（1516，600）= 4 。

19．6的所有正因数的和是 12 _。

20．24与60的最大公因数是 12 。

21．35的最小质因数是 5 。

22．46的个位数是 6 。

23．8的所有正因数的和是 15 _。

24．18的标准分解式为 18 232。

25．20的欧拉函数值

计算题

（20）= 8 。

1.求400与240的最大公因数。

2.求不定方程10x+9y=1的一切整数解。

3.求150与210的最大公因数。

4.解同余式3x2（mod5）。

5.求不定方程7x+2y=1的一切整数解。

6.解同余式3x1（mod7）。

7.解同余式28x21（mod35）。

8.解同余式组：

x 1（mod3）

x 2（mod5）

9.求不定方程3x+2y=2的一切整数解。

10.解同余式4x 1（mod5）。

计算题答案

因为400 24

52，240 24

35，

所以400与240的最大公因数是24 5，即80。

因为（10,9）=1，所以不定方程有整数解。

显然x=1，y=-1是其一个特解，

所以不定方程的一切整数解为：

，其中t取一切整数。

因为150 2352，210 2357

所有150与210的最大公因数是235，即30。

因为（3，2）=1，所以同余式有解，且有一个解。

将0，1，2，3，4直接代入检查知，4满足同余式，所以同余式的解为x 4（mod

5）。

因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。

观察知其一个整数解是

x 1

0 。

y0 3

x

于是其一切整数解为

y



12t

37t

，t取一切整数。

因为（3,7）=1，所以同余式有解且有一个解。

由3x-7y=1得x

5 7t

，

2 3t

所以同余式的解为x 5（mod7）

因为（28，35）=7，而7|21，所以同余式28x21（mod35）有解，

且有7个解。

同余式28x21（mod35）等价于4x3（mod5），解4x3（mod5）

得x2（mod5），故同余式28x21（mod35）的7个解为

x2，7，12，17，22，27，32（mod35）。

8．解同余式组：

由x

1（mod3）得x

3k 1，将其代入x

2（mod5）

得3k 1 2（mod5），

解得k

2（mod5），即k

5t 2，

所以x

15t

7，所以解为x

7（mod15）。

因为（3,2）=1，所以不定方程有整数解。

显然x

0,y

1是其一个特解，

所以不定方程的一切整数解为 ，其中t取一切整数。

因为（4,5）=1，所以同余式有解，且只有1个解。

将0,1,2,3,4代入检查知4满足4 4 1（mod5），

所以同余式的解为x 4（mod5）。

证明题

1.证明：

若a，b都是m的倍数，则a

b也是m的倍数。

2.设n是整数，证明3|n（n+1）（n+2）。

3.设n是整数，证明：

6|n3 n。

设x，y均为整数。

4.证明：

若a

b（modm），则3a

3b（modm）。

5.设x，y均为整数。

证明：

若5|x 9y，则5|8x 7y。

6.证明：

若k是整数，则k2 k 1是奇数。

+证明题

若a，b都是m的倍数，则 也是m的倍数。

证明：

由m|a,m|b

知存在整数p,q,使得a=pm,b=qm,所以a+b=（p+q）m,

因为p,q为整数，所以m|（a+b）