离散数学朱保平Word文件下载.doc

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（4）是命题。

设表示努力工作，表示把事情做好，则原句翻译为命题公式。

（5）是命题。

设表示嫦娥是虚构的，表示圣诞老人也是虚构的，表示许多孩子受骗了，则原句翻译为。

1.2试判定下列公式的永真性和可满足性。

（1）

（1）当时，

原式=

=

=

当=时，上式=；

当时，上式=，因此公式存在成真解释，存在成假解释，故公式可满足，但非永真。

（2）

当时

=

当=时

上式=

当时

当时，上式=，当时，上式=，因此，公式存在成真解释，存在成假解释，故公式可满足，但非永真。

（4）

上式=

当时，上式=，当时，上式=，因此，公式存在成真解释，存在成假解释，故公式可满足，但非永真。

1.3试求下列公式的成真解释和成假解释

（1）当时

原式=

当时，上式=，当时，上式=。

当时，上式=，当时，上式=，

因此，公式的成真解释为；

成假解释为。

当时，上式=；

当时，上式=。

1.4试写出下列公式的对偶式和内否式

（1）内否式为

消去“”得式子

对偶式=

（2）内否式为

消去“”得式子

对偶式为

（3）内否式为

（4）内否式为

1.5试证明联结词集合{}是完备的。

证明

因为，

所以，联结词集合可以表示集合。

又因为，联结词集合是完备的，即可以表示任何一个命题演算公式，所以可以表示任何一个命题演算公式，故联结词集合是完备的。

1.6试证明联结词集合不是完备的。

设集合是完备的，则由联结词集合的完备性定义知。

当全取为真时，上式左边=，右边=，矛盾。

因此不是完备的。

设集合是完备的，则由联结词集合的完备性定义知，其中表示“”。

1.7试求下列公式的析取范式和合取范式

=（析取范式）

=（合取范式）

=（合取范式和析取范式）

1.8试求下列公式的主析取范式和主合取范式

1.9用把公式化为主范式的方法判断下列各题中两式是否等价

=

由此可见两公式的主析取范式不相等，因此，两公式不等价。

由此可见两公式的主合取范式相等，因此，两公式等价。

47

第二章命题演算的推理理论

2.1用永真公理系统证明下列公式

（1）公理1

（2）公理13

（3）用代入

（4）分（3）

（1）

（5）分（4）

（1）

（6）公理11

（7）用代入

（8）公理7

（9）用代入

（10）分（9）（7）

（11）分（10）（5）

证明

（1）公理14

（2）用代入，用代入

（3）公理15

（4）定理

（5）

用代入，用代入，用代入

（6）分（5）（3）

（7）公理3

（8）

用代入，用代入，用代入

（9）分（8）

（2）

（10）分（9）（6）

（11）定理

（12）

（4）式中用代入，用代入，用代入

（13）分（12）（11）

（14）

（7）式中用代入，用代入，用代入

（15）分（14）（13）

（16）分（15）（10）

（1）公理11

（2）用代入

（3）定理

（4）用代入

（5）分（4）（3）

（6）公理12

（7）用代入

（8）公理3

（9）

（10）分（9）（5）

（11）分（10）（7）

（12）定理

（13）用代入

（14）分（13）（11）

（1）公理1

（2）