数学建模优秀论文-易拉罐形状和尺寸的最优设计方案文档格式.doc

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4.利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5.用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述什么是数学建模及其关键步骤以及难点。

二、模型假设

1．各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响；

2．易拉罐的容积是一定的；

3.易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比；

4．易拉罐圆台部分顶盖到侧面间的坡度为0.3[1]。

三、符号说明

21

：

规划的目标函数；

易拉罐的表面积；

易拉罐的体积；

正圆柱体形易拉罐底面的半径；

圆台上表面的半径；

圆台下表面的半径；

易拉罐侧面的高度；

易拉罐上顶的厚度；

易拉罐圆台部的厚度；

易拉罐侧面的厚度；

易拉罐底面的厚度；

圆台的母线长度；

易拉罐焊缝的长度；

易拉罐所材料量；

为各部分的系数；

易拉罐的各种压强；

易拉罐底的弧面面积；

易拉罐底的搭接角；

圆台的高；

易拉罐的美观度；

易拉罐底面的圆弧角

四、模型分析

问题一：

可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度

问题二：

对于一个体积给定的正圆柱体，最优设计应该考虑材料最省，可以分为易拉罐各点罐壁厚度相同和各点罐壁厚度不同这两种情况。

因此，最优设计可以通过建立以用料最省、焊缝最短为目标函数，以体积一定为约束条件的规划模型予以解决。

具体地可以按以下步骤求解其最优设计：

首先，考虑最简单的情况：

易拉罐各点罐壁厚度相同。

将表面积的大小作为目标函数，建立非线性规划模型一，求解该正圆柱体的表面积最小时所对应的尺寸（半径和高的比值）；

然后，考虑易拉罐各点罐壁厚度不同。

以用料最少作为目标函数，建立模型二，通过拉格朗日乘数法求解易拉罐的最优尺寸；

再进一步考虑易拉罐焊缝增加的工作量。

我们将焊缝的长短也作为目标函数之一，在模型二的基础上建立模型三，同样通过拉格朗日乘数法求解最优尺寸；

最后，为了验证模型求解的结果是否准确，我们考虑把问题一所得的数据代入进行检验，看理论值与实际值是否吻合，把它作为衡量模型求解结果好坏以及实际值是否合理的标准。

问题三：

易拉罐的纵断面上部是圆台，下部是正圆柱体，对于这一设计，同样按照问题二的分析方法，逐步求解易拉罐的最优尺寸，依次建立模型四、五、六，同样通过拉格朗日乘数法求解。

为验证求解结果是否正确，把实际数据代入模型进行检验。

问题四：

日常生活中，面对同样的饮料，消费者更青睐于美观大方、安全方便的产品。

因此，在满足用料最省的前提下，我们引入黄金分割和压强，在兼顾二者的前提下建立优化模型。

具体地，我们可以从以下几个方面来考虑：

（一）增加美观度，引入黄金分割点来判断，使得易拉罐的外形达到最优。

（二）考虑压强变化所引起的底面弧度变化，一方面使得用料最省，另一方面对于不同种类饮料，作出不同类的易拉罐设计。

（三）考虑改变易拉罐的材料，例如可以使用纸质材料，使得更环保，更安全。

最终作出新型易拉罐的设计图。

问题五：

根据学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述建模的含义，以及它的关键步骤和难点。

五、模型建立

1.问题二：

正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型

（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形

图1各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐

由图1可知：

易拉罐的容积为.

易拉罐的表面积为

因此，建立以表面积最小为目标函数，以体积一定作为约束条件的非线性规划模型，即

模型一：

（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形

易拉罐上、下底面，侧面的厚度不同，导致用料量也不相同。

根据材料的用量与其体积成正比，那么在容积一定时，所用材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸。

图2有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐

如图2所示，做一个易拉罐所需要的材料为：

应使取得最小值。

由此可得，

模型二：

（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形

在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同工作量有影响，因此，综合考虑这两方面因素，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝长度也尽量取到最小。

根据模型分析，可得

焊缝长度：

将焊缝的长度为时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以将二者直接相加。

由此可以得到

模型三：

此模型即为求解问题二的完善模型。

2.问题三：

圆柱体加圆台形易拉罐尺寸的最优设计模型

此时，以易拉罐表面积的大小来衡量尺寸的优劣。

图3各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐

由图3，得

圆台的上面、侧面的面积为

圆柱侧面的面积为

圆柱底面的面积为

此时易拉罐的表面积为：

由于圆台的斜率为一定值0.3[1]，因此

得到

模型四:

图4有不同罐壁厚度易拉罐的圆台

如图4所示，易拉罐所需材料量为：

由此可得

模型五:

（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形

综合考虑两方面因素，使得易拉罐用料最少时，焊缝长度也尽量取到最小。

模型六：

模型六为求解问题三的完善模型。

3．问题四：

自己设计的易拉罐最优形状和尺寸模型

（1）考虑美观度的情形

在模型六的基础上引入美观度来描述易拉罐的外形是否美观，考虑易拉罐的直径和高度之比趋向于黄金分割点，即：

，取得最小值时即为最优解。

模型七：

（2）考虑压强引起的底面弧度变化的情形

目前市售的易拉罐不是正圆柱体，也不仅仅将顶部变为圆台，而是上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接（粘合）很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,我们只做简单讨论。

对于上拱的底面，是为了耐压，从物理角度分析曲面下的压强，若液体表面为曲面，则表面张力有拉平液面的趋势，从而对液体产生附加压强。

附加压强的方向由表面张力的方向确定，大小可以用液面内外的压强差来表示[3]。

图5易拉罐的底面示意图

对于下表面而言，受到的压力包括三部分：

第一部分是通过小液块的边线，作用在液块上的向上的表面张力；

第二部分力是液体内气体产生产生的作用于液块底面向下的压力；

第三部分是液体本身向下的重力。

设球形液面半径为，单位长度液体表面的张力为（大小即为液体的表面张力系数），则小液块边线所具有的总张力向下分量为：

用表示液体内外的压强差，则小液块所受的向上的张力为：

这两部分力方向相反，在平衡时大小相等，所以

液体重力作用产生的压强；

易拉罐内部气体压强为一定值。

因此，易拉罐下表面所受到的压强为

与此同时，底部的上拱必然会引起所用材料的增多

图6易拉罐的底面积示意图

易拉罐的底面积为：

此时所用材料量为：

可得

模型八：

六、模型求解

1.问题一的求解

测量各种类易拉罐的高度、直径、顶面、圆台侧面、圆柱侧面、底面的厚度的数据

表110种355ml易拉罐饮料的相关测量数据

项

目

数

值

种

类

罐体

直径

（cm）

圆台口

高度

整罐

顶盖

厚度

侧面

圆台

罐底

可口可乐

6.616

4.552

10.116

12.164

0.0471

0.0109

0.0318

雪碧

6.62

4.562

10.088

12.192

0.0448

0.011

0.0332

天府百柠

6.66

4.574

10.102

12.182

0.0462

0.0113

0.0322

百事可乐

6.618

4.554

10.114

12.174

0.0466

0.0108

0.0326

七喜劲柠

6.614

4.548

10.112

12.172

0.0102

0.0316

美年达

4.536

12.162

0.047

0.032

醒目

6.646

4.55

12.166

0.0473

0.0107

轻怡

6.628

10.118

0.0468

0.0104

菠萝啤酒

10.108

12.158

0.0482

雪花啤酒

10.11

0.0475

0.0324

表2GB／T9106—2001中规定的罐体主要尺寸（单位：

毫米）[5]

名称

符号

公称尺