传染病的传播及控制分析数学建模Word文件下载.doc

传染病的传播及控制分析数学建模Word文件下载.doc

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控制后，在时，患者人数大致在7天时到达最大值，在25天时基本没有患者；

在时，患者人数大概在第8天到达最大值186383，大概在28天之后基本没有患者；

在时，大概在第5天患者人数到达峰值为47391，在21天时基本没有患者。

综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。

针对所得结果，对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。

关键词：

隔离强度潜伏期SEIR模型

一、问题重述：

2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能。

假设已知有一种未知的现病毒[1]潜伏期为天，患病者的治愈时间为天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触进行传播，患者每天接触的人数为，因接触被感染的概率为（为感染率）。

为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。

潜伏期内的患者被隔离的强度为（为潜伏期内患者被隔离的百分数）。

在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型，利用所给数据值生成患者人数随时间变化的曲线，增强或者减弱疑似患者的隔离强度，比较患者人数发生的变化，并分析结果的合理性。

最后结合该模型的数据对控制H7N9的传播做出一些科学的建议。

二、问题假设：

1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例；

2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例；

3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例；

4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒，有很强的免疫能力，即被移除出此传染系统；

5、假设正常人被传染后，进入一段时间的潜伏期，处于潜伏期的人群不会表现症状，不可传染健康人，不具有传染性；

6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗，被视为无法跟别人接触，故不会传染健康人；

7、假设实际治愈周期过后，如果患者没有治愈，则认为患者死亡，即实际治愈周期过后，患者都被移出此感染系统；

8、假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。

即：

总人口数不变，记为N；

三、符号说明：

符号

解释说明

S（t）

t时刻正常人（易受感染）人数

E（t）

t时刻疑似患者的人数

Q（t）

t时刻处于潜伏期的人数

I（t）

t时刻确诊患者的人数

R（t）

t时刻退出传染系统的人数（包括治愈者和死亡者）

β1

潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期人数的比例

β2

每日退出传染系统的人数比例

a3

确诊患者的治愈时间

患者的人均日接触人数

因接触被感染的概率

潜伏期内的患者被隔离的强度

四、问题分析：

根据题意，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，需要研究传染病在传播过程中各类人群的人数变化，特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化，预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度，从而我们可以采取相应隔离措施达到控制传染病传播的效果。

我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，查阅相关资料可知，关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程模型最具代表性，因题目中把人群分为五类：

确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用微分方程中的SIER模型，将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。

在此基础上，我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程，得出模型。

再利用matlab编程画出图形，改变其隔离强度后重新作图进行比较，对结果进行分析，并利用此模型对控制H7N9的传播做出建议。

五、模型的建立和求解：

5.1传染病模型的准备

不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按一般的传播机理建立模型。

查阅相关资料可知，目前关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程建立的模型比较具有代表性，模型复杂程度有区别，故适合的情形也不同，包括I模型、SI模型、SIR模型、SEIR模型等[2]。

I模型是最简单的模型，从已感染人数和有效接触率出发构建模型，但未区分已感染者（病人）和未感染者（健康人），结果发现，随着时间增加，病人人数会无限增长，这显然不符合实际；

SI模型是I模型的改进模型，它区分了已感染者和未感染者，但是该模型没有考虑到病人可以治愈，导致人群中的健康者只能变成病人，病人不能变成健康者，这也是不符合实际的；

在考虑病人治愈后有较强免疫力的情况下，SIR模型对SI模型进行了改进，即增加了移除者（包括死亡者和治愈者），但在实际情况下，传染病会出现疑似患者，故需要考虑隔离的情况。

SEIR模型[3]-[4]对SIR模型进行了改进，增加了疑似患者，考虑到了隔离强度，故我们选择SEIR模型进行此次建模。

根据题目所给的条件，人群分为五类：

确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。

根据SEIR模型重新归类，得到以下结果：

（1）健康人群，即易感染（Susceptibles）人群。

记其数量为S（t），表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；

（2）确诊患者，即被感染（Infection）该疾病的人群，记其数量为I（t），表示t时刻已经确诊为患者入院的人数；

（3）疑似病患，即被入院隔离的人群，包括一部分正常人一部分处于潜伏期的感染者，记其数量为E（t），表示t时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数；

（4）潜伏期感染者，即已感染病毒但处于潜伏期的人群，记起数量为Q（t）表示t时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。

（5）恢复人群（Recovered），记其数量为R（t），表示t时刻已从感染病者中移出的人数，包括死亡者和治愈者，这部分人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统。

该传染病的传播流程图如下：

图1传染病传播流程图

5.2传染病模型的建立[5]

传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。

对S来说，一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常人，使其成为潜伏期感染者流出S；

对于E来说，流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人，流出者包括一部分没有被感染的正常人和隔离后被确诊患者；

对于I来说，它既有从包括隔离和未被隔离的H中确诊的流入者，也有已经治愈的流出者；

对于R来说，它只有从I中治愈转化而来的流入者。

以上过程在传染的每一时刻都是相同的。

为此我们可将时间假定的非常小，在某一时刻对S、E、I、R取其对时间的微分，这样既可建立传染病控制模型的微分方程组如下：

1、控制前阶段：

前两天，患者没有住院，疑似患者没有被隔离，患者可以随意接触和感染正常人。

分析控制前阶段时间内，疫情的发展与变化。

（1）正常人-----疑似患者：

控制前阶段病人尚未被隔离，所以疫情发展比较迅速，此时病人人均每天接触个正常人，假设时刻病人人数为，则新增疑似患者人数为，。

（2）疑似患者-----潜伏期：

疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者，病毒携带者会进入潜伏期，而非病毒携带者最终还是正常人。

设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为，假设时刻疑似患者人数为，潜伏期患者人数为，则，故新增潜伏期人数为。

（3）潜伏期-----确诊患者：

因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长，用表示这一特性。

那么新增确诊患者人数为，现在要确定，如果潜伏期天数为到，假设其变化到了一个稳定阶段，那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多，其概率分布呈指数稳步增长，则每天有概率的人变为猪流感患者，即。

所以新增患者人数：

。

（4）确诊患者-----治愈、死亡：

设T为退出系统人数（治愈者和死亡者），如果治愈天数设为，那么天后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人产生抗体，不再会被传染，所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。

设系统退出率为，则有退出人数。

的求解方法与相同，即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多，则。

故新退出传染系统的人数。

根据上述的式子可进一步得出：

所以得出以下：

2、控制后阶段：

两天之后，患者全部住院，疑似患者全部被隔离，剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后可以接触和感染正常人。

分析控制后阶段时间内，疫情的发展与变化。

控制后阶段，病人开始被隔离，所以疫情发展开始变慢，并受隔离强度影响，此时病人每天接触的正常人数目也在变小，假设病人的数目为，则疑似患者数目。

又因为接触率与隔离强度有关，也呈指数分布，所以，故新增疑似患者的数目。

控制后阶段，疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例不会改变。

假设时刻疑似患者人数为，潜伏期患者人数为，故新增潜伏期人数为。

潜伏期患者变为确诊患者的过程与控制前时刻相同，所以新增患者人数。

（4）确诊患者-----治愈者、死亡者：

同样退出传染系统的人数不变，则新增退出传染系统的人数。

根据上述可进一步求得出：

整理后得：

5.3传染病模型的求解：

1、控制前：

通过对模型的推导，我们发现不能给出每个函数的解析解，因此考虑利用Matlab中的ode系列函数进行求解。

首先，对传染病模型进行标准化，再带入参数，并由此建立微分方程组函数文件，随后用ode函数对该文件进行调用，即可得到微分方程组的解向量，然后利用plot函数画出此解向量即可得到各类人群岁时间变化的曲线图。

控制前患者人数随时间变化的关系如下图所示：

图2控制前患者的人数随时间的变化

由上图可以看出控制前还未采取任何措施时，患者的人数迅速增加，类似于指数型增长曲线。

这是由于在开始的两天，患者两天后才入院，疑似患者两天后才被隔离缺乏。

一方面，他们将病原体迅速地传染给了健康人；

另一方面，他们由于缺乏治疗，无法被治愈。

当时，患者的数量越来越多，增长速度越来越快。

基本符合实际情况，可见模型的合理性。

2、控制后：

（1）当隔离强度时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：

图3控制后时患者人数随时间的变化

由上图分析可知，两天后，对患者进行入院隔离，对疑似患者进行部分隔离，使得新进入潜伏期的人数在减少。

因此，由于时间的延迟，患者人数的迅速增长，并在接下来的几天内达到峰值，随后逐渐下降最后平缓的趋于零。

患者人数